מצא את הערכים של x שעבורם הסדרה הבאה מתכנסת?

מצא את הערכים של x שעבורם הסדרה הבאה מתכנסת?
Anonim

תשובה:

#1<>

הסבר:

כאשר מנסים לקבוע את הרדיוס ו / או המרווח של התכנסות של סדרות כוח כגון אלה, עדיף להשתמש מבחן מבחן, אשר אומר לנו סדרה # suma_n #, אנחנו נתנו

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

אם #L <1 # הסדרה מתכנסת לחלוטין (ולכן מתכנסת)

אם #L> 1 #, הסדרה מתפצלת.

אם # L = 1, # מבחן היחס אינו חד משמעי.

עבור כוח סדרה, עם זאת, שלושה מקרים אפשריים

א. סדרת הכוח מתכנסת לכל המספרים הריאליים; מרווח האינטגרציה שלה הוא # (- oo, oo) #

.ב סדרת הכוח מתכנסת למספר מסוים # x = a; # רדיוס ההתכנסות שלה הוא אפס.

c. במקרה הנפוץ ביותר, סדרת הכוח מתכנסת # | x-a |<> עם מרווח של התכנסות # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | # #

אז אם # | 2x-3 | <1 #, הסדרה מתכנסת. אבל אנחנו צריכים את זה בצורה # | x-a |<>

# 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # תוצאות ההתכנסות. רדיוס ההתכנסות הוא # R = 1 / 2. #

עכשיו, בואו לקבוע את המרווח:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

אנחנו צריכים לחבר # x = 1, x = 2 # לתוך הסדרה המקורית כדי לראות אם יש לנו התכנסות או סטייה בנקודות הקצה האלה.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2) 1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # סוטה, את summand אין גבול ובוודאי לא הולך אפס, זה רק סימנים לסירוגין.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # סוטה גם על ידי מבחן ההתבדלות, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

לכן, הסדרה מתכנסת #1<>

אנחנו יכולים להשתמש במבחן היחס שאומר שאם יש לנו סדרה

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

זה בהחלט מתכנס אם:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

במקרה שלנו, # a_n = (2x-3) ^ n #, לכן אנו בודקים את הגבול:

(2x-3) (2x-3) (2x-3) (2x-3) (n 2)) ^ n)) / ביטול ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

לכן, אנחנו צריכים לבדוק מתי # | 2x-3 | # זה פחות מ #1#:

עשיתי כאן טעות, אבל התשובה הנ"ל יש את אותה שיטה ואת התשובה הנכונה, אז רק צריך להסתכל על זה במקום.