תן P להיות כל נקודה על חרוטי r = 12 / (3-sin x). תן F¹ ו F² להיות נקודות (0, 0 °) ו (3, 90 °) בהתאמה. הצג את PF¹ ו- PF² = 9?

תשובה:

#r = 12 / {3-sin theta} # #

אנחנו מתבקשים להראות # PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, כלומר # P # מטאטא אליפסה עם מוקדים # F_1 # ו # F_2. # ראה את ההוכחה להלן.

הסבר:

בואו לתקן מה אני מניח הוא הקלדה ואומר #P (r, theta) # מספק

#r = 12 / {3-sin theta} # #

טווח הסינוס הוא #pm # # אז אנחנו מסיקים # 4 le r le 6. #

# 3r - r החטא theta = 12 #

# PF_1 | = P - 0 | r #

בקואורדינטות מלבניות, # P = (r cos theta, r sin theta) # ו # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r = 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 חטא ^ 2 תטא - 6 r חטא תטא + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # כי אנחנו כבר יודעים # 4 le r le 6. #

# PF_1 | + | PF_2 | r = 9 -r = 9 quad sqrt #