מהו טווח y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

תחילה תן לנו לשקול את התחום:

עבור אילו ערכים של #איקס# האם הפונקציה מוגדרת?

המונה # (1-x) ^ (1/2) # מוגדר רק כאשר # (1-x)> = 0 #. מוסיף #איקס# לשני הצדדים של זה אתה מוצא #x <= 1 #.

אנחנו גם דורשים מהמכנה להיות לא אפס.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x 1) # הוא אפס #x = -1 / 2 # ומתי #x = -1 #.

אז התחום של הפונקציה הוא

# {x ב- RR: x <= 1 ו- x! = -1 ו- x! = -1/2} #

הגדר #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # בדומיין זה.

תן לנו לשקול כל מרווח מתמשך בתחום בנפרד:

בכל מקרה, תן #epson> 0 # להיות מספר חיובי קטן.

מקרה (א): #x <-1 #

עבור ערכים שליליים גדולים של #איקס#, #f (x) # הוא קטן וחיובי.

בקצה השני של מרווח זה, אם #x = -1 - epsilon # לאחר מכן

# (x) = f = (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # כפי ש #epsilon -> 0 #

אז #x <-1 # ההיקף של #f (x) # J # (0, + oo) #

מקרה (ב): # -1 / 2 <x <= 1 #

# (1/2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 / -1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) # #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # כפי ש #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

אז # -1 / 2 <x <= 1 # ההיקף של #f (x) # J # 0, + oo #

מקרה (c): # -1 <x <-1 / 2 #

# (+ + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1) # #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # כפי ש #epsilon -> 0 #

# (1/2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 / -1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) # #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # כפי ש #epsilon -> 0 #

אז השאלה המעניינת היא מהו הערך המקסימלי של #f (x) # במרווח זה. כדי למצוא את הערך של #איקס# אשר עבור זה קורה לחפש הנגזר להיות אפס.

# d (dx) f (x) #

# (1 / x) 1 (1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# (1 / x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - (1-x) ^ (1/2) (4x + 3) (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# (1 - x) ^ (1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - (1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

זה יהיה אפס כאשר המונה הוא אפס, אז אנחנו רוצים לפתור:

(1 - x) ^ (1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - (1-x) ^ (1/2) (4x + 3) = 0 #

הכפל דרך על ידי # 2 (1-x) ^ (1/2) # להשיג:

# (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

זה:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

אשר יש שורשים # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

מבין השורשים הללו, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # נופל בתוך המרווח מודאג.

תחליף את זה בחזרה #f (x) # כדי למצוא את המקסימום של #f (x) במרווח זה (כ -10).

זה נראה לי מורכב. עשיתי שגיאות כלשהן?

תשובה: טווח הפונקציה הוא # (- oo, -10.58 uu 0, oo #

ל #x ב- (-oo, -1) # #-># #y ב- (0, oo) #

ל #x ב- (-1, -0.5) # # #-># #y ב- (-oo, -10.58 #

ל #x ב- (-0.5, 1) # #-># #y ב- 0, oo #