מהו המרכז של משולש עם קודקודים ב O (0,0), P (a, b), ו- Q (c, d) #?

תשובה:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

הסבר:

הכלתי את השאלה הישנה הזאת ולא שאלתי שאלה חדשה. אני עשיתי את זה לפני שאלה circumcenter ושום דבר לא קרה, אז אני ממשיך את הסדרה.

כמו קודם שמתי קודקוד אחד במקור כדי לנסות לשמור על אלגברה דשנים. משולש שרירותי מתורגם בקלות והתוצאה מתורגמת בקלות.

ה- ORTHocenter הוא הצומת של גבהים של משולש. קיומה מבוסס על המשפט כי גבהים של משולש מצטלבים בנקודה. אנחנו אומרים שלוש הגבהים בו זמנית.

בואו להוכיח את הגבהים של המשולש OPQ מקבילים.

וקטור כיוון של צד OP הוא # P-O = P = (a, b), # אשר רק דרך מפוארת לומר את המדרון # b / a # (אבל וקטור כיוון גם עובד כאשר # a = 0 #). אנחנו מקבלים את וקטור כיוון של הניצב על ידי החלפת קואורדינטות שולל אחד, כאן # (b, -a) # בניצב מאושש על ידי מוצר נקודת האפס:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

המשוואה הפרמטרית של הגובה מ- OP ל- Q היא:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # באמת # t #

הגובה מ- OQ ל- P דומה

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # באמת # u #

וקטור כיוון של PQ הוא # Q-P = (c-a, d-b) #. הניצב דרך המוצא, כלומר הגובה מ- PQ, הוא אפוא

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # באמת # #

בואו נראה את המפגש של altitudes מ OP ו PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

זו שתי משוואות בשני אלמונים, # t # ו # #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

אנחנו נכפיל את הראשון על ידי # a # ואת השני על ידי # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

הוספת, #c + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

מגניב עם המוצר נקודה במספרה ואת המוצר לחצות את המכנה.

המפגש הוא אורתוסנטר המשוער # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

בואו למצוא את המפגש של altitudes מ OQ ו PQ הבא. על ידי סימטריה אנחנו יכולים פשוט להחליף # a # עם # c # ו # b # עם # d #. אנו נקרא את התוצאה # (x ', y') #

(b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) # (x, y) = {ca + db}

יש לנו שני צמתים זהים, # (x ', y') = (x, y), # אז הוכחנו את הגבהים בו זמנית. #quad sqrt #

הצלחנו להצדיק את שמות הצומת המשותף אורטוצנטר, ומצאנו את הקואורדינטות.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #