מהו רדיוס ההתכנסות לסדרת כוח זו? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

תשובה:

#abs z <1 #

הסבר:

# d / dz (z + 1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ ^ kz ^ k #

אבל

# zum (k = 0) ^ oo (+) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. עכשיו שוקל #abs z <1 # יש לנו

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # ו

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

עכשיו עושה את החלפה #z -> - z # יש לנו

# -int סכום (k = 0) ^ z z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ z z ^ k / k = log (1-z) #

ולכן הוא מתכנס #abs z <1 #