איך אתה מוצא ייצוג של סדרות כוח עבור (arctan (x)) / (x) ומהו רדיוס ההתכנסות?

תשובה:

שלב את סדרת הכוח של הנגזרת של #arctan (x) # ואז מחלקים #איקס#.

הסבר:

אנחנו יודעים את ייצוג סדרת הכוח של # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # כך ש #absx <1 #. לכן # 1 (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

אז את סדרת הכוח של #arctan (x) # J # (n +) dx = sum_n (d) = dn = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

אתה מחלק אותו #איקס#, אתה מגלה כי סדרה של כוח #arctan (x) / x # J #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) # #. נניח #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) # #

כדי למצוא את רדיוס ההתכנסות של סדרת כוח זו, אנו מעריכים #lim_ (n -> + oo) ABS ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u + n + 1) / u_n = (+ 1) (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / (- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

# (n => + oo) ABS ((u_ (n + 1)) / u_n) = ABS (x ^ 2) #. אז אם אנחנו רוצים את סדרת הכוח להתכנס, אנחנו צריכים #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, כך הסדרה תתכנס אם #absx <1 #, וזה לא מפתיע שכן הוא רדיוס ההתכנסות של ייצוג סדרת הכוח של #arctan (x) #.