להוכיח כי מספר sqrt (1 + sqrt (2 + ... ... + sqrt (n))) אינו הגיוני עבור כל מספר טבעי n גדול מ 1?

תשובה:

ראה הסבר …

הסבר:

נניח:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # היא רציונלית

אז הריבוע שלה חייב להיות רציונלי, כלומר:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

ולכן הוא:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

אנחנו יכולים שוב ושוב מרובע וחסר כדי למצוא את הדברים הבאים חייב להיות רציונלי:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

לפיכך # n = k ^ 2 # עבור מספר שלם חיובי #k> 1 # you

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

שים לב ש:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

לפיכך # k ^ 2 + k-1 # הוא לא הריבוע של מספר שלם או #sqrt (k ^ 2 + k-1) # הוא לא הגיוני, סותר את הטענה שלנו #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # היא רציונלית.

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

בהנחה

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # עם # p / q # לא רדוקטיבי יש לנו

# cqots = (cdots ((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

וזה אבסורד, כי על פי תוצאה זו, כל שורש ריבועי של מספר שלם חיובי הוא הגיוני.