מה הוא אינטגרל של int tan ^ 5 (x)?

תשובה:

(#) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

הסבר:

#int tan ^ (5) (x) dx #

לדעת את העובדה # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, אנחנו יכולים לשכתב את זה כמו

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, אשר התשואות

(x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

אינטגרל ראשון:

תן # x = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

אינטגרל שני:

תן #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

לכן

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

כמו כן, שים לב #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, ובכך נותן לנו

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

תחליף # u # בחזרה לתוך הביטוי נותן לנו את התוצאה הסופית של

# 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / Cancel (2)) sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

לכן

(#) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #