איך מכפילים (4 + 6i) (3 + 7i) בטריגונומטריה?

קודם כל אנחנו צריכים להמיר את שני המספרים לתוך צורות trigonometric.

אם # (a + ib) # הוא מספר מורכב, # u # הוא גודל ו # אלפא # היא זווית שלה אז # (a + ib) # ב טופס טריגונומטרי נכתב כ #u (cosalpha + isinalpha) #.

גודל של מספר מורכב # (a + ib) # ניתן ע"י#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # וזוויתו ניתנת על ידי # tan ^ -1 -1 (b / a) #

תן # r # להיות גודל של # (4 + 6i) # ו # theta # להיות זווית שלה.

גודל # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

זווית # (4 + 6i) = Tan = -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

תן # s # להיות גודל של # (3 + 7i) # ו # phi # להיות זווית שלה.

גודל # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

זווית # (3 + 7i) = Tan = -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

עכשיו,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) # #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

כאן יש לנו כל דבר קיים, אבל אם כאן להחליף ישירות את הערכים המילה יהיה מבולגן למצוא #theta + phi # אז בואו הראשון לגלות # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

אנחנו יודעים את זה:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

(1/3) + (3/3) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 ((3/2) + (7/3)) / 7/3))) = טאן ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) # #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# # 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/155)) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/155)) #

זו התשובה הסופית שלך.

ניתן גם לעשות זאת בשיטה אחרת.

על ידי הכפלת הראשון מספרים מורכבים ולאחר מכן לשנות אותו טופס trigonometric, וזה הרבה יותר קל מזה.

# 4 + 6i) 3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = 30 + 46i #

עכשיו לשנות # -30 + 46i # בטריגונומטריה.

גודל # 30 + 46i = sqrt (- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

זווית # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) # #

#) # + 30i 46 = = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1) -23/15)) #