איך אתם מחלקים (i + 3) / (-3i +7) בטריגונומטריה?

תשובה:

# 0.311 + 0.275i #

הסבר:

ראשית אכתוב מחדש את הביטויים בצורה של # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

עבור מספר מורכב # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, איפה:

# r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
# theta = tan ^ -1 (b / a) #

בואו נקרא # 3 + i # # z_1 # ו # 7-3i # # z_2 #.

ל # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0.32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0.32) + isin (0.32)) #

ל # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0.40 ^ c #

עם זאת, מאז # 7-3i # הוא ברבע 4, אנחנו צריכים לקבל זווית חיובית שווה (הזווית השלילית הולך בכיוון השעון סביב המעגל, ואנחנו צריכים זווית נגד השעון).

כדי לקבל זווית חיובית שווה ערך, אנו מוסיפים # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5.88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5.88) + isin (5.88)) #

ל # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (לבן) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (לבן) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -Tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (לבן) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56) # #

#color (לבן) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#color (לבן) (z_1 / z_2) = 0.311 + 0.275i #

הוכחה:

# (3 + i) / (7-3i) / (7 + 3i) (7 + 3i) = (3 + i) (7 + 3i)) / (7 - 3i) (7 + 3i) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i ~~0.310+0.275i#

איך אתם מחלקים (2i + 5) / (-7 i + 7) בטריגונומטריה?

0.54 (cos (1.17) + isin (1.17)) הבה נחלק אותם לשני מספרים מורכבים נפרדים מלכתחילה, אחד מהם הוא המונה, 2i + 5 והאחד המכנה, 7 + 7. אנחנו רוצים לקבל אותם מ ליניארי (x + iy) טופס טריגונומטרי (r (costheta + isintheta) שבו theta הוא הטענה ואת r הוא מודולוס.ל 2i + 5 אנחנו מקבלים r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2 ) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = הוויכוח על השני הוא יותר קשה, כי זה חייב להיות בין -pi ו- pi, אנחנו יודעים כי 7 + 7 חייב להיות ברבע הרביעי, כך שיהיה ערך שלילי מ -pi / 2 <theta < 0. זה אומר שאנחנו יכולים להבין את זה פשוט על ידי

איך אתם מחלקים (9i-5) / (-2i + 6) בטריגונומטריה?

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10 אבל לא יכולתי לסיים בצורה טריגונומטית. אלה הם מספרים מורכבים נחמד בצורת מלבני. זה בזבוז זמן גדול כדי להמיר אותם לקואורדינטות קוטביות לחלק אותם. ננסה את שני הכיוונים: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} = {12 + 11i} / 10 זה היה קל. בואו ניגוד. בקואורדינטות הקוטביות יש לנו 5 + 9i = sqrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (9, -5)} אני כותב טקסט {atan2} (y, x) פרמטר שני נכון, ארבעה רבעי הפוך משיק. 6-2i = sqrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (- 2, 6)} frac {-5 + 9i} {6-2i} = frac { sqrt {106 }} טקסט {atan2} (- 2, 6)}} frac {5 + 9i} {6} 2 =} sqrt {106/

איך אתם מחלקים (2i -7) / (- 5 i-8) בטריגונומטריה?

0.51-0.58i יש לנו z = (7 + 2i) / (- 8-5i) = (7-2i) / (8 + 5i) עבור z = a + bi, z = r (costheta + isintheta), שם : r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) theta = tan ^ -1 (b / a) עבור 7-2i: r = sqrt (7 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt53 theta = tan ^ -1 ( -2.7) ~ ~ -0.28 ^ c, אולם 7-2i הוא ברבע 4 ולכן יש להוסיף 2pi כדי לעשות את זה חיובי, גם 2pi יהיה הולך סביב מעגל בחזרה. הטאטה = tan ^ -1) -2 / 7) + 2pi ~ ~ 6 ^ c עבור 8 + 5i: r = sqrt (8 ^ 2 + 5 ^ 2) = sqrt89 theta = tan ^ -1 (5/8) ~ ~ 0.56 ^ c כאשר יש לנו z_1 / z_1 בטופס trig, אנו עושים r_1 / r_1 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2) z_1 / z_2 = sqrt53 / sqrt89 (cos (6-0.56) + isin ( 6 = 0.