מה הוא אינטגרל int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

תשובה:

(2/1) ^ (2/2) / 2 (1/2/1) / 2 (1x) 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

הסבר:

הבעיה הגדולה שלנו אינטגרל זה הוא השורש, אז אנחנו רוצים להיפטר ממנו. אנחנו יכולים לעשות זאת על ידי הצגת תחליף # u = sqrt (2x-1) #. הנגזר הוא אז

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

אז אנחנו מתחלקים (ונזכור, החלוקה על ידי גומלין היא זהה להכפלה על ידי המכנה בלבד) להשתלב ביחס # u #:

מס '(2x-1) / dx = int (x ^ 2-1) / ביטול (sqrt 2x-1) = int x ^ 2-1 du #

עכשיו כל מה שאנחנו צריכים לעשות הוא להביע את # x ^ 2 # במונחים של # u # (שכן לא ניתן לשלב #איקס# לגבי # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = (u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

אנחנו יכולים לחבר את זה בחזרה לתוך אינטגרל שלנו כדי לקבל:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

ניתן להעריך זאת באמצעות כלל כוח הפוך:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

עבור מחדש # u = sqrt (2x-1) #, אנחנו מקבלים:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) 1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #