להוכיח כי שטח מוצל סגול שווה לאזור incircle של משולש שווה צלעות (מעגל מפוספס צהוב)?

תשובה:

הסבר:

שטח incircle הוא # pir ^ 2 #.

מציין את המשולש הנכון עם hypotenuse # R # ואת הרגל # r # על בסיס המשולש שווה צלעות, דרך טריגונומטריה או את המאפיינים של #30 -60 -90 # ימין משולשים אנו יכולים לבסס את היחסים כי # R = 2r #.

שימו לב לזווית שממול # r # J #30 # מאז משולש שווה צלעות #60 # זווית נחצבה.

זה משולש זהה ניתן לפתור באמצעות משפט פיתגורס להראות כי מחצית אורך הצד של המשולש שווה צלעות הוא #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

עכשיו בוחנים חצי של המשולש שווה צלעות כמו משולש ימין, אנו רואים כי גובה # h # של משולש שווה צלעות ניתן לפתור עבור במונחים של # r # באמצעות מערכת היחסים #tan (60) = h / (rsqrt3) #. מאז #tan (60) = sqrt3 #, זה הופך # h / (rsqrt3) = sqrt3 # לכן # h = 3r #.

השטח של המשולש שווה צלעות הוא אז # 1 / 2bh #, ואת הבסיס שלה הוא # 2rsqrt3 # ואת גובהו # 3r #. לפיכך, השטח שלה הוא # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

שטחו של האזור המוצלל קטן שווה לשליש שטח המשולש המשולש פחות האינקירקל, או # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # אשר שווה ל # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

שטח המעגל הגדול יותר הוא # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

שטחו של האזור המוצל הגדול יותר הוא שליש שטח המעגל גדול פחות השטח של המשולש שווה צלעות, או # 1/3 (4pir ^ ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # אשר מפשט להיות # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

השטח הכולל של השטח המוצל הוא אז # (3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r = 2 ((3pi = r = 2)) / 3) = pir ^ 2 #, אשר שווה לאזור של incircle.

תשובה:

הסבר:

למשולש שווה צלעות מרכז הכובד, מרכז circumcircle ו orthocenter בקנה אחד.

אז רדיוס של cicumcircle (R) ורדיוס של incircle (r) יהיה יחס הבא

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

עכשיו מן הדמות ברור כי אזור של אזור סגול BIG גדול# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

ו אזור של אזור סגול סגול# = 1/3 (דלתא-פיר = 2) #

איפה #Delta # מייצג את השטח של המשולש שווה צלעות.

לכן

#color (סגול) ("שטח כולל של האזור המוצלל והגדול של סגול" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (דלתא-פיר = 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancDelta + ביטולה-פיר = 2) # #

הוספת R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) # #

# = 1/3 (4pir ^ ^-pir ^ 2) #

# = 1 / canc3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> צבע (כתום) "שטח מעגל מפוספס צהוב" #