מהו הערך המינימלי של g (x) = x / csc (pi * x) על המרווח [0,1]?

תשובה:

יש ערך מינימלי של #0# ממוקם שניהם ב # x = 0 # ו # x = 1 #.

הסבר:

ראשית, אנחנו יכולים מיד לכתוב את הפונקציה הזו

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

נזכיר את זה #csc (x) = 1 / sin (x) #.

עכשיו, כדי למצוא ערכים מינימליים על מרווח, להכיר בכך שהם יכולים להתרחש גם בסוף הקצה של המרווח או בכל ערכים קריטיים המתרחשים בתוך המרווח.

כדי למצוא את הערכים הקריטיים בתוך המרווח, הגדר את הנגזרת של הפונקציה השווה ל #0#.

ו, כדי להבדיל את הפונקציה, נצטרך להשתמש חוק מוצר. יישום של כלל המוצר נותן לנו

(x) x = / dx (sin) (pix)) #

כל אחד מהנגזרים הבאים נותן:

# d / dx (x) = 1 #

ו, דרך כלל שרשרת:

# d / dx (pix)) (= pi) = פיקוס (פיקס) # d / dx (חטא (פיקס)

שילוב של אלה, אנו רואים את זה

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

לפיכך, ערכים קריטיים יתרחשו בכל פעם

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

אנחנו לא יכולים לפתור את זה באלגברה, אז להשתמש במחשבון כדי למצוא את כל אפסים של פונקציה זו על מרווח נתון #0,1#:

גרף {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

שני הערכים הקריטיים בתוך המרווח נמצאים ב # x = 0 # ו # xapprox0.6485 #.

לכן, אנו יודעים כי הערך המינימלי של #g (x) # יכול להתרחש ב #3# מקומות שונים:

• # x = 0 # או # x = 1 #, נקודות הקצה של המרווח
• # x = 0 # או # x = 0.6485 #, את הערכים הקריטיים בתוך המרווח

עכשיו, חבר את כל הערכים האפשריים הללו לתוך המרווח:

# (0) = 0 (0) = 0, טקסט צבע (אדום) (מינימום), (g (0.6485) = 0.5792, טקסט בצבע (כחול) (מקסימלי)), (g (1) = 0, טקסט (מינימלי)): #

מאחר שישנם שני ערכים נמוכים באותה מידה, יש מינימום הן ב # x = 0 # ו # x = 1 #. שים לב כי למרות שעברנו למצוא את הבעיה של # x = 0.6485 #, זה אפילו לא היה מינימום.

Graphed הוא #g (x) # על המרווח #0,1#:

גרף {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

כמו כן, שים לב כי הערך המינימלי הוא #0#, מאז #g (0) = g (1) = 0 #. ההבחנה היא זו # x = 0 # ו # x = 1 # הם מיקומי המינימום.