ללא גרפים, איך אתה מחליט אם המערכת הבאה של משוואות לינאריות יש פתרון אחד, פתרונות רבים ללא הרף או אין פתרון?

תשובה:

מערכת של # N # משוואות לינאריות עם # N # משתנים לא ידועים שאינם מכילים תלות ליניארית בין משוואות (במילים אחרות, שלה הקובע הוא לא אפס) יהיה פתרון אחד בלבד.

הסבר:

הבה נבחן מערכת של שתי משוואות לינאריות עם שני משתנים לא ידועים:

# Axe + By = C #

# Dx + Eye = F #

אם זוג # (A, B) # אינו פרופורציונלי לזוג # (D, E) # (כלומר, אין מספר כזה # k # כי # D = kA # ו # E = kB #, אשר ניתן לבדוק לפי מצב # A * E-B * D! = 0 #) אז יש פתרון אחד ויחיד:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

דוגמא:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

פתרון:

# 1 = (= 3) (* 3) (* 3) - * (1 * (- 2)

# 1 = (1 * (* 3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

אם זוג # (A, B) # הוא יחסי לזוג # (D, E) # (כלומר, יש מספר כזה # k # כי # D = kA # ו # E = kB #, אשר ניתן לבדוק על ידי תנאי # A * E-B * D = 0 #), ישנם שני מקרים:

(א) מספר אינסופי של פתרונות אם # C # ו # F # הם פרופורציונליים עם אותו מקדם כמו # A # ו # D #, זה # F = kC #, איפה # k # הוא אותו מקדם של מידתיות;

דוגמא:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

כאן # k = 2 # עבור כל זוגות: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

המשוואה השנייה היא תוצאה טריוויאלית של הראשונה (רק להכפיל את המשוואה הראשונה על ידי #2#), ולכן, אינו מספק מידע נוסף על לא ידוע, צמצום מספר המשוואות, ביעילות, ל 1.

(ב) אין פתרונות בכלל, אם #F! = KC #

דוגמא:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

במקרה זה משוואות סותרות זו את זו, שכן על ידי הכפלת הראשון ב 2, אנו שואבים למשוואה # 2x + 8y = 6 #, אשר לא יכול להיות פתרון משותף עם # 2x + 8y = 5 # שכן החלקים השמורים של שתי משוואות אלה שווים, אך החלקים הנכונים אינם.