שאלה # 059f6

תשובה:

# x (1) x (1) x (1) x (1) x (1) x (1) (2k + 1) + (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)) (x- 1) ^ (2k + 1) #

הסבר:

פיתוח טיילור של פונקציה # f # ב # a # J # (a) (n) (n) (n) (xa) ^ n = f (a) + f (a) (xa) + f ^ ((2)) (א) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

זכור כי היא סדרת כוח ולכן זה לא בהכרח להתכנס # f # או אפילו להתכנס במקום אחר מאשר ב # x = a #.

אנחנו הראשונים צריך נגזרים של # f # אם אנחנו רוצים לנסות לכתוב נוסחה אמיתית של סדרת טיילור שלה.

לאחר חצץ והוכחה אינדוקציה, אנחנו יכולים לומר את זה # (1) (x) 1 (+ 1) (x) 1 (+) (x) ו # (+ 1)) (x 1) + xcos (x-1)) #.

אז אחרי כמה פישוט גס וקטן, נראה כי סדרה של טיילור # f # J (x-1) -2 (c = 1) ^ (^) ^ (k) (x) (x-1) -2 קילו (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ ^ ^ (^) ^ ^ ^ (2k + 1) חטא (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.