מספר הדרך שבה הבוחן יכול להקצות 30 סימני שאלה ל -8 שאלות שניתנו לא פחות מ -2 סימני שאלה?

תשובה:

#259459200#

הסבר:

אם אני קורא את זה נכון, אז אם הבוחן יכול להקצות סימני רק במכפילים של 2. אז זה אומר שיש רק 15 אפשרויות מתוך 30 סימנים. #30/2 = 15#

לאחר מכן יש לנו 15 אפשרויות מופץ על 8 שאלות.

שימוש בנוסחה לתמורות:

# (n!) / ((n - r)! #

איפה # n # הוא מספר אובייקטים (במקרה זה הסימנים בקבוצות של 2).

ו # r # הוא כמה נלקחים בכל פעם (במקרה זה 8 שאלות)

אז יש לנו:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

תשובה:

יש # "" _ 21C_14 # (או 116,280) דרכים.

הסבר:

אנחנו מתחילים עם 30 סימני "בנק" לתת. מאחר שכל השאלות צריכות להיות שוות לפחות 2 סימנים, אנחנו לוקחים # 2 xx 8 = 16 # סימנים מן #30# ולהפיץ אותם באותה מידה. עכשיו כל שאלה יש 2 (עד כה) ואת "הבנק" נשאר עם #30-16=14# סימנים.

עכשיו אנחנו רק צריכים למצוא את מספר דרכים כדי להפיץ את 14 הסימנים הנותרים בין 8 שאלות. בהתחלה, זה אולי נראה קשה מאוד, אבל יש טריק עושה את זה הרבה יותר אינטואיטיבי.

בואו לפשט את הדברים לרגע. מה אם היו לנו רק 2 שאלות, ו 14 סימני לפצל ביניהם? כמה דרכים נוכל לעשות את זה? טוב, אנחנו יכולים לפצל את הסימנים כמו 14 + 0, או 13 + 1, או 12 + 2, וכו '… או 1 + 13, או 0 + 14. במילים אחרות, כאשר אנחנו רק צריכים להציג 1 פיצול (בין 2 שאלות), אנחנו מקבלים 15 דרכים לעשות את זה.

זה אותו הדבר כמו לשאול, "כמה דרכים ייחודיות אנחנו יכולים לארגן 14 גולות צהובות (סימנים) 1 שיש כחול (השאלה מפצל) ברציפות?" התשובה לכך היא על ידי חישוב מספר תמורות של כל 15 גולות (כלומר #15!#), ולאחר מכן חלוקת במספר דרכים כדי לאפשר את שניהם גולות צהובות #(14!)# וגולות כחולות #(1!)#, שכן בתוך כל הסדר, לא משנה באיזה סדר הגולות זהות מופיעות.

אז כאשר יש 14 גולות צהובות (סימני) 1 השיש הכחול (שאלה ספליטר), יש

# (!!) Xx1 = = (15xxcancel (14!)) / (ביטול) (14) xx1 = = 15 #

15 דרכים לארגן את הגולות (לפצל את הסימנים). הערה: זה שווה ל # "" _ 15C_14 #.

בואו נכניס עוד שיש כחול - כלומר, פיצול שני, או שאלה שלישית כדי לתת את הסימנים. עכשיו יש לנו 16 גולות סה"כ, ואנחנו רוצים לדעת כמה דרכים ייחודיות אנחנו יכולים לארגן את אלה. בדומה לפני, אנחנו לוקחים את #16!# דרכים לארגן את כל הגולות, ואז לחלק את ידי דרכים כדי לאפשר הן צהוב #(14!)# ואת הכחול #(2!)#:

# (16! Xx2!) = (16xx15xx) / (2) = 120 (#!) Xx2xx1 =

אז יש 120 דרכים לפצל 14 סימני בין 3 שאלות. זה גם שווה # "" _ 16C_14 #.

עד עכשיו, אתה עשוי להבחין לאן אנחנו הולכים. המספר שמאלה # C # שווה למספר הסימנים שאנו מפצלים (גולות צהובות) ועוד מספר המפצלים (גולות כחולות). מספר המבתרים הוא תמיד אחד פחות את מספר השאלות. המספר שמימין # C # נשאר מספר הסימנים.

לכן, כדי לפצל את 14 הסימנים הנותרים בין כל 8 שאלות (אשר דורש 7 ספליטרס), אנו מחשבים

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" 21C_14 #

# (+) C_14) = (21!) / (7! xx14!) # #

#color (לבן) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

אז יש 116,280 דרכים להקצות 30 מארק ל 8 שאלות, שבו כל שאלה שווה לפחות 2 סימני.