מהי קבוצת אבליאן, מנקודת מבט אלגברית לינארית / מופשטת?

תשובה:

קבוצת Abelian היא קבוצה עם הרכוש הנוסף של המבצע הקבוצה להיות commutative.

הסבר:

א קבוצה # <G, •> # הוא סט # G # יחד עם פעולה בינארית # •: GxxG-> G # אשר ממלאים את התנאים הבאים:

1. # G # J סגור תחת #•#.

   לכל # a, binG #, יש לנו # a • ב G #

2. #•# J אסוציאטיבי.

   לכל # a, b, cinG #, יש לנו # (a • b) • (c) = a (b • c) #

3. # G # מכיל אלמנט זהות

   קיים שם # einG # כך עבור כל # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. כל אלמנט של # G # יש הפוך in # G #

   לכולם # ainG # קיים שם #a ^ (- 1) inG # כך ש # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) a = e #

קבוצה הוא אמר להיות אבליאן אם יש לו גם את הנכס #•# הוא חלופי, כלומר, לכל # a, binG #, יש לנו # a • b = b • #.

הקבוצה # <ZZ, +> # (מספרים שלמים עם תוספת סטנדרטית) היא קבוצת Abelian, כפי שהיא ממלאת את כל חמש התנאים הנ"ל.

הקבוצה # GL_2 (RR) # (סט של unvertible # 2 "x" # 2 מטריצות עם אלמנטים אמיתיים יחד עם הכפל מטריקס) הוא לא abelian, כפי שהוא ממלא את ארבעת התנאים הראשונים, כפל מטריקס בין מטריצות invertible אינו בהכרח commutative. לדוגמה:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

אבל

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#