להוכיח את עקומות x = y ^ 2 ו xy = k לחתוך בזווית ישרה אם 8k ^ 2 = 1?

תשובה:

#-1#

הסבר:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

שני הקימורים הם

#x = y ^ 2 #

ו

#x = sqrt (1/8) / y או x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

עבור העקומה #x = y ^ 2 #, הנגזר בגין # y # J # 2y #.

עבור העקומה #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, הנגזר בגין # y # J # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

הנקודה שבה שני הקימורים נפגשים היא מתי # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

מאז #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

הנקודה בה נפגשים העקומות # (1/2, sqrt (1/2)) #

מתי #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

את שיפוע של משיק את עקומת #x = y ^ 2 # J # 2sqrt (1/2), או 2 / (sqrt2) # #.

מתי #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

את שיפוע של משיק את עקומת #xy = sqrt (1/8) # J # -2sqrt (1/8), או -2 / (sqrt8) # #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

אנחנו מחפשים מצב של # k # כך כי הקימורים # x = y ^ 2 # ו # xy = k # "לחתוך בזווית ישרה". מבחינה מתמטית זה אומר את הקימורים צריך להיות אורתוגונליים, אשר בתורו אומר כי בכל הנקודות המשיקים עקומות ב כל נקודה נתונה הם בניצב.

אם נבחן את המשפחה של עקומות עבור ערכים שונים של # k # אנחנו מקבלים:

אנו מציינים מיד כי אנו מחפשים נקודה אחת שבה המשיק בניצב כך באופן כללי הקימורים אינם אורתוגונליים בכל הנקודות.

ראשית תן לנו למצוא את יחיד לתאם, # P #, מנקודה של צומת, שהוא הפתרון בו זמנית של:

# (y = 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

החלפת EQ A לתוך B אנחנו מקבלים:

(y = 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

וכך אנו קובעים את קואורדינטת הצומת:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

אנחנו גם צריכים את gradients של משיקים בקואורדינטות. עבור העקומה הראשונה:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

אז את שיפוע של משיק, # m_1 #, אל העקומה הראשונה ב # P # J

# 1 (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) # #

באופן דומה, לעיקול השני:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

אז את שיפוע של משיק, # m_2 #, לעיקול השני ב # P # J

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = = -k ^ (- 1/3) #

אם אלה שני משיקים בניצב אז אנו דורשים כי:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

המוביל לתוצאה הנתונה:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

ועם ערך זה של # k #