תשובה:
# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #
#color (לבן) (4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #
הסבר:
בהתחשב you
# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 #
שים לב ש:
# (4 + 4) = sqrt (64) = 8 #
לכן # 4sqrt (3) -4i # יכול לבוא לידי ביטוי בצורה # 8 (cos theta + i חטא theta) # עבור כמה מתאים # theta #.
# 4sqrt (3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #
לכן:
# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6)) ^ ^ 22 #
# (3) (+) (+) (#) (+) (+) (#)
# color (לבן) (4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (pi / 3) + isin (pi / 3)) #
# 3 (+) 2 (22) (1/2 + sqrt (3) / 2 i) #color (לבן)
#color (לבן) (4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #
#color (לבן) (4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #
תשובה:
הנה דרך אחת שאינה משתמשת משפט בינומי.
הסבר:
שים לב לזה # (4sqrt3 - 4i) ^ 22 = (4 (sqrt3 - i)) ^ 22 = 4 ^ 22 (sqrt3-i) ^ 22 #.
זה יאפשר לנו לשמור על מקדמים כלפי מטה קצת.
אנו מוצאים את ההתרחבות של # (sqrt3-i) ^ 22 # ו יוכפל על ידי #4^22 = 2^44# בסופו של דבר.
# (sqrt3-i) ^ 2 = (sqrt3-i) (sqrt3-i) = 3 -1 -2isqrt3 = 2-2isqrt3 #
# (sqrt3-i) ^ 3 = (2-2isqrt3) (sqrt3-i) = 2sqrt3 - 2i -6i - 2sqrt3 = -8i #
# (sqrt3-i) ^ 21 = ((sqrt3-i) ^ 3) ^ 7 = (-8i) ^ 7 = 2 ^ 21i #
# = (-8 ^ 7) (i ^ 7) = (-2 ^ 21) (- i) = 2 ^ 21i #
# (sqrt3-i) ^ 22 = (2 ^ 21i) (sqrt3 - i) = 2 ^ 21 (1 + isqrt3) #
הכפל על ידי #4^22 = 2^44#:
התשובה הסופית היא
# = 2 ^ 65 (1+ isqrt3) #
