Tan3x = 3 Tanx-Tan = 3x על ידי 1-3tan ^ 2x להוכיח את זה?

תשובה:

חביב לעבור הוכחה בתוך ה הסבר.

הסבר:

יש לנו, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (יהלום) #.

לתת # x = y = A #, אנחנו מקבלים, #tan (A + A) = (tana + tanA) / (1-tanA * tanA) # #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

עכשיו, אנחנו לוקחים, פנימה # (יהלום), x = 2A, ו- y = A #.

#:. שזוף (2A + A) = (tan2A + tanA) / (1-tan2A * tanA) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + tanA / / {1 (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * tanA #, # 1 (2tanA + tanA (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)}: - {1 (2tan ^ 2A) / (1-tan ^ 2A)} #, # = (2tanA + tana-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, כרצוי!

בואו נעשה את זה מן העקרונות הראשונים מ דה Moverre:

#cos 3 x + i sin 3x = (cos x + i sin x) ^ 3 #

משתמש ב #1,3,3,1# שורה של המשולש של פסקל, #cos 3 x + i sin 3x #

# x c + 3 x x 3 cos ^ 2 x (i חטא x) 3 cos x (i ^ 2 sin = 2 x) + i ^ 3 sin = 3 x #

# 3 (cos ^ 3 x- 3 cos x sin = 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin 3 x) #

ההשוואה בין חלקים אמיתיים ודמיוניים, # cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin = 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin 3 x #

אלה (צורה מעורפלת למדי) של נוסחאות זווית משולשת, ובדרך כלל היינו פשוט לכתוב את אלה או טופס סטנדרטי יותר למטה ולהתחיל מכאן.

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin = 3 x} {cos ^ 3 x- 3 cos x sin = 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frac {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square #