מהי הנגזרת של f (x) = ln (חטא ^ -1 (x))?

הערה בצד להתחיל עם: סימון # sin ^ -1 # עבור הפונקציה הסינוס ההופכי (באופן מפורש יותר, הפונקציה ההופכת של הגבלת הסינוס ל- # - pi / 2, pi / 2 # #) נפוצה אך מטעה. ואכן, האמנה הסטנדרטית עבור מעריכים בעת שימוש בפונקציות טריג (למשל, # sin = 2 x: = (sin x) ^ 2 # מציע כי #sin ^ (- 1) x # J # (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) # #. כמובן, זה לא, אבל הסימון מטעה מאוד. הסימון האלטרנטיבי (והנפוץ) #arcsin x # יותר טוב.

עכשיו נגזרת. זה מורכב, אז נשתמש כלל שרשרת. אנחנו נצטרך # (ln x) '= 1 / x # (ראה חשבון הלוגריתמים) # (arcsin x) '= 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (ראה חצץ של פונקציות ההופך טריג).

שימוש כלל שרשרת:

# (ln (arcsin x)) '= 1 / arcsin x times (arcsin x)' = 1 / (arcsin x sqrt (1-x ^ 2) # #.