תשובה:
הסבר:
אמנם בהתחלה נראה להיות אינטגרל מעצבן באמת, אנחנו יכולים למעשה לנצל זהויות טריג כדי לשבור את זה אינטגרל לתוך סדרה של אינטגרלים פשוטים שאנחנו מכירים יותר.
הזהות שבה נשתמש היא:
זה מאפשר לנו לתפעל את המשוואה שלנו ככזה:
אנו יכולים כעת להחיל את הכלל שלנו שוב כדי לחסל את cos ^ 2 (2x) בתוך הסוגריים:
עכשיו אנחנו באמת יש בעיה אינטגרציה פשוטה למדי, אנחנו יכולים להפיץ את האינטגרל לתוך שלנו כה מוסרי כך:
כל אלה integersals טריג מטופל עם כלל פשוט כי
לפיכך,
הצג את cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. אני קצת מבולבל אם אני עושה את הקוסלה 4/10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), זה יהיה שלילי כמו cos (180 ° -theta) = - costheta ב את הרביע השני. כיצד אוכל להוכיח את השאלה?
אנא ראה להלן. LOS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi) (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos (4pi / 10) = 2 cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / (2/4) / 2) (4/10) + 2) (4/10) 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS
מהו int (חטא x) / (cos ^ 2x + 1) dx?
Int ( x) (/ cos ^) (+ cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C אנו מציגים תחליף u עם u = cos (x). הנגזרות של u תהיה אז (x), אז אנחנו מחלקים את זה על ידי זה כדי לשלב ביחס u: int (חטא (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) אינטגרל, כלומר התוצאה היא: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C אנו יכולים לחזור u = cos (x) כדי לקבל את התשובה במונחים של x: -arctan (cos (x)) + C
מהו האינטגרל של חטא int (x) ^ 3 * cos (x) dx?
= (c) x (x) dx אנו יכולים להשתמש בתחליף להסרת cos (x). אז בואו נשתמש בחטא (x) כמקור שלנו. u = sin = x (x) מציאת dx ייתן, dx = 1 / cos (x) * du עכשיו החלפת אינטגרל המקורי עם החלפה, (3 + 1) + 3 (1 +) 3 + 1 + u + (3 + 1) + C = 1/4 u + 4 + C עכשיו הגדרה עבור u, = חטא (x) ^ 4/4 + C = חטא ^ 4 (x) / 4 + C