האם יש נקודה (x, y) על העקומה y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, שבה המשיק מקביל לציר ה- x?

תשובה:

אין טעם כזה, ככל שהמתמטיקה שלי הולכת.

הסבר:

ראשית, הבה נבחן את התנאים של המשיק אם הוא מקביל ל #איקס#-קס. מאז #איקס#-אקסס הוא אופקי, כל קו מקביל אליו חייב להיות גם אופקי; כך נובע כי הקו המשיק הוא אופקי. וכמובן, משיקים אופקי מתרחשים כאשר הנגזרת שווה #0#.

לכן, עלינו להתחיל תחילה על ידי מציאת הנגזרת של משוואה מפלצתית זו, אשר ניתן לבצע באמצעות הבחנה משתמעת:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

באמצעות כלל הסכום, כלל שרשרת, כלל מוצר, כלל מנה ואלגברה, יש לנו:

# d / dx (lny) = d / dx (x + x / y) lnx) #

(x + x / y) (lnx) + (x + x / y) (lnx) # #

(x + x / y) (lnx) + (x + x / y) (lnx) # #

(x / x / y) (x / x / dx) / y = 2 (lnx) + (x + x / y) (# / x)

(y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y # 1 / y = lnx + lnx (y-xdy / dx)

# 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# / - dx / dx * / y = 2 + 1 + 1 / y # 1 / y = lnx + (yn (xlnxdy / dx)

# / y + 2 + y + 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + y # = / y + (xlnxdy / dx)

(+) y + 1 (y + 2) + l + x (lnx) / y + 1 + y #

(y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

(y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 y) / y #

#) -> dy / dx = (ylnx + lnx + 1 y) / y) / (y + xlnx) / y ^ 2) # #

# (-> dy / dx = y (ylnx + lnx + 1 y)) / (y + xlnx) #

ללא שם: וואו … ללא שם: זה היה אינטנסיבי. עכשיו אנחנו מגדירים את הנגזרת שווה #0# ולראות מה קורה.

# 0 = y (ylnx + lnx + 1 y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- lnx + 1)) / (lnx + 1) # #

# y = -1 #

מעניין. עכשיו בואו תקע # y = -1 # ולראות מה אנחנו מקבלים #איקס#:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

מכיוון שזו סתירה, אנו מסיקים כי אין נקודות העונה על מצב זה.

תשובה:

לא קיים כזה משיק.

הסבר:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) שווה y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. עכשיו מתקשר # y (y + 1) = u (x) + v (y) = 0 # יש לנו

# d = + dx + dx + f = dy = (חלקו החלקי) / (x החלקי) dx + (החלקי v) / (y החלקי) dy = 0 # לאחר מכן

# (/ dx = =) (חלק /) x () x () + (x) x (1) (1 + y +) (1 + y) (1 + y + log_e (y)) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e y) #

אנחנו רואים ש # dy / dx = = -> y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # אבל ערכים אלה חייבים לאמת:

#f (x, y_0) = 0 # ו

#f (x_0, y) = 0 #

במקרה הראשון, # y_0 = 1 # יש לנו

# x ^ x = -1 # אשר אינו בר השגה בתחום האמיתי.

במקרה השני, # x_0 = e ^ {- 1} # יש לנו

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # או

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

אבל

# y / (y + 1) log_e y> -1 # אז אין פתרון אמיתי גם.

לסיכום, אין כזה משיק.

תשובה:

התשובה מד"ר, קאווה ק, x = 1 / e, היא מדויקת.

הסבר:

הצעתי את השאלה הזאת כדי לקבל את הערך הזה בדיוק. הודות ל

ד"ר, קוואס על תשובה החלטית המאשרת את ההתגלות כי

דיוק כפול y נשאר 0 סביב מרווח זה. y

רציפה ושונה ב x = 1 / e. כמו גם את 17-sd כפול

דיוק y ו- y הם 0, במרווח זה סביב x = 1 / e, זה היה

לנחש כי ציר x נוגע הגרף בין לבין. ועכשיו, זה

הוכיח. אני חושב שהמגע הוא טרנסצנדנטאלי..