Y = f (x) ניתנת.גרף, y = f (3x) -2 ו- y = -f (x-1)?

תשובה:

אין לך נייר גרף שימושי - כך אני מקווה כי התיאור עוזר!

הסבר:

ל # y = f (3x) -2 # ראשון למחוץ גרף נתון לאורך #איקס# ציר על ידי גורם של 3 (כך יד המינימום, למשל, מתרחשת ב # x = -2 / 3 #), ולאחר מכן לדחוף את הגרף כולו מטה על ידי 2 יחידות. כך הגרף החדש יהיה מינימום ב #x = -2 / 3 # עם ערך של # y = -2 #, מקסימום ב #(0,0)# ועוד מינימום ב #(4/3, -4)#

ל # y = -f (x-1) # המשמרת הראשונה את הגרף 1 ליחידה ימין, ואז להעיף אותו הפוך! אז, הגרף החדש יהיה ave שני מקסימום ב #(-1,0)# ו #(5,2)# מינימום ב #(1,-2) #

תשובה:

הנה הסבר מפורט יותר

הסבר:

הבעיות הן מקרים מיוחדים של בעיה כללית יותר:

בהתחשב בגרף עבור # y = f (x) #, מהו הגרף של #y = a f (b x + c) + d # ?

(הראשון הוא עבור # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, ואילו השני הוא עבור # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

אנסה להסביר את התשובה בשלבים, על ידי התמודדות עם הבעיה צעד אחד בכל פעם. זו תהיה תשובה ארוכה למדי - אבל אני מקווה שהעיקרון הכללי יהיה ברור עד הסוף.

כדי להמחיש אני אשתמש עקומה מסוימת שאני מציג להלן, אבל הרעיון יעבוד באופן כללי.

(אם מישהו מעוניין, את הפונקציה כי הוא להיות זממו כאן #f (x) = exp (- {x-1} ^ 2} / 2) #

1) בהתחשב בגרף עבור # y = f (x) #, מהו הגרף של #y = f (x) + d # ?

זה קל - כל מה שאתה צריך לעשות הוא לציין שאם # (x, y) # היא נקודה על הגרף הראשון, אם כך # (x, y + d) # היא נקודה על השני. משמעות הדבר היא כי הגרף השני הוא גבוה יותר מאשר הראשון על ידי מרחק # d # (כמובן אם # d # הוא שלילי, הוא נמוך יותר מאשר הגרף הראשון על ידי # | d | #).

אז, את הגרף של # y = f (x) + 1 # יהיה

כפי שניתן לראות, התרשים עבור #y = f (x) + 1 # (קו סגול מוצק) מתקבל על ידי פשוט לדחוף את הגרף עבור # y = f (x) # (הקו המקווקו האפור) למעלה על ידי יחידה אחת.

התרשים עבור # y = f (x) -1 # ניתן למצוא על ידי דחיפת הגרף המקורי מטה ביחידה אחת:

2) בהתחשב בגרף עבור # y = f (x) #, מהו הגרף של #y = f (x + c) # ?

קל לראות שאם # (x, y) # היא נקודה על # y = f (x) # גרף, לאחר מכן # (x-c, y) # יהיה נקודה על #y = f (x + c) # גרף. זה אומר שאתה יכול לקבל את הגרף של #y = f (x + c) # מהגרף של #y = f (x) # פשוט על ידי העברתו אל שמאלה על ידי # c # (כמובן אם # c # הוא שלילי, עליך להעביר את הגרף המקורי על ידי # | c | # לימין.

לדוגמה, התרשים עבור # y = f (x + 1) # ניתן למצוא על ידי דחיפת הגרף המקורי אל שמאלה ביחידה אחת:

בזמן זה # y = f (x-1) # כרוך דוחף את הגרף המקורי ימין ביחידה אחת:

3) בהתחשב בגרף עבור # y = f (x) #, מהו הגרף של #y = f (bx) # ?

מאז #f (x) = f (b פעמים x / b) # מכאן שאם # (x, y) # היא נקודה על #y = f (x) # גרף, לאחר מכן # (x / b, y) # היא נקודה על # y = f (bx) # גרף.

משמעות הדבר היא כי הגרף המקורי חייב להיות סחוט לפי גורם # b # לאורך #איקס# ציר. כמובן, את הלחץ על ידי # b # הוא באמת מתיחה על ידי # 1 / b # במקרה שבו # 0 <b <1 #

התרשים עבור # y = f (2x) # J

שים לב כי כאשר הגובה נשאר באותו 1, הרוחב מתכווץ בפקטור של 2. בפרט, השיא של העקומה המקורית השתנה מ # x = 1 # ל # x = 1/2 #.

מצד שני, גרף עבור # y = f (x / 2) # J

שים לב שתרשים זה גדול פי שניים (סחיטה על ידי #1/2# להיות זהה למתוח על ידי גורם של 2), ואת השיא גם עברה מ # x = 1 # ל # x = 2 #.

יש לציין במיוחד את המקרה שבו # b # הוא שלילי. מוטב אולי לחשוב על כך כתהליך דו-שלבי

• ראשית למצוא את הגרף של # y = f (-x) #, ואז
• לסחוט את הגרף שהתקבל על ידי # | b | #

שים לב לכל נקודה # (x, y) # של הגרף המקורי, את הנקודה # (- x, y) # היא נקודה על הגרף של # y = f (-x) # - כך הגרף החדש ניתן למצוא על ידי המשקף את הישן על # Y # ציר.

כהמחשה של תהליך שני השלבים, שקול את הגרף של # y = f (-2x) # להלן:

כאן העקומה המקורית, כי # y = f (x) # הוא הראשון התהפך על # Y # ציר כדי לקבל את עקומת עבור # y = f (-x) # (קו ציאן דק). זה סחוט אז על ידי גורם #2# כדי לקבל את עקומת עבור # y = f (-2x) # - עקומה סגולה עבה.

4) בהתחשב בגרף עבור # y = f (x) #, מהו הגרף של #y = af (x) # ?

הדפוס הוא זהה כאן - אם # (x, y) # היא נקודה על העקומה המקורית אז # (x, ay) # היא נקודה על הגרף של # y = af (x) #

משמעות הדבר היא חיובית # a #, הגרף מקבל נמתח על ידי גורם # a # לאורך # Y # ציר. שוב, ערך של # a # בין 0 ל 1 פירושו כי במקום להיות מתוח, העקומה יהיה למעשה לחצה על ידי גורם של # 1 / a # לאורך # Y # ציר.

העקומה להלן היא עבור # y = 2f (x) #

שים לב כי בעוד השיא הוא באותו ערך של #איקס# - הגובה שלה הוכפל ל 2 מ 1. כמובן שזה לא שיא רק כי כבר מתוח - # y # קואורדינטות של כל נקודה של העקומה המקורית הוכפל כדי לקבל את העקומה החדשה.

האיור שלהלן ממחיש את הסחיטה המתרחשת כאשר #0<>

שוב, במקרה של #a <0 # לוקח טיפול מיוחד - וזה עדיף אם אתה עושה את זה בשני שלבים

1. ראשית להעיף את העקומה הפוך על #איקס# ציר כדי לקבל את עקומת עבור # y = -f (x) #
2. למתוח את העקומה על ידי # | a | # לאורך # Y # ציר.

עקומה עבור # y = -f (x) # J

בעוד התמונה הבאה ממחישה את שני השלבים הכרוכים בציור העקומה #y = -2f (x) #

לשים את הכל ביחד

עכשיו שיש לנו עבר את השלבים הפרט, תן לנו לשים את כולם ביחד! הליך ציור העקומה עבור

# y = a f (bx + c) + d #

החל מ # y = f (x) # מורכב בעיקר מהצעדים הבאים

1. מגרש את עקומת # y = f (x + c) #: העבר את הגרף למרחק # c # לשמאל
2. אז העלילה של #y = f (bx + c) #: לסחוט את עקומת שאתה מקבל משלב 1 ב #איקס# לפי הגורם # | b | #, (הראשון מדפדף על זה # Y # ציר אם #b <0 #)
3. ואז העלילה את הגרף של # y = af (bx + c) #: קנה מידה את עקומת כי יש לך משלב 2 על ידי גורם של # a # בכיוון האנכי.
4. לבסוף לדחוף את העקומה כי אתה מקבל בשלב 3 עד למרחק # d # כדי לקבל את התוצאה הסופית.

כמובן שאתה צריך לבצע את כל ארבעת השלבים רק במקרים קיצוניים - לעתים קרובות מספר קטן יותר של צעדים יעשה! כמו כן, רצף הצעדים חשוב.

במקרה שאתה תוהה, השלבים הבאים בצע מן העובדה שאם # (x, y) # היא נקודה על # y = f (x) # גרף, ואז את הנקודה

# ({x-c} / b, ay + d) # הוא על # y = af (bx + c) + d # גרף.

תן לי להמחיש את התהליך על ידי דוגמה עם הפונקציה שלנו #f (x) #. ננסה לבנות את הגרף עבור #y = -2f (2x + 3) + 1 #

ראשית - המעבר שמאלה על ידי 3 יחידות

לאחר מכן: לסחוט על ידי גורם של 2 לאורך #איקס# ציר

לאחר מכן, מרפרף על הגרף מעל #איקס# ציר ואז קנה המידה על ידי גורם של 2 יחד # Y #

לבסוף, העברת עקומת על ידי יחידה 1 - ואנחנו נעשה!