מה הם extrma המקומית של (x) = sinx ב [0,2pi]?

תשובה:

ב # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # יש לנו מקסימום מקומי ב # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # יש לנו מינימום מקומי.

הסבר:

מקסימום הוא נקודה גבוהה שבה פונקציה עולה ואז נופל שוב. ככזה המדרון של המשיק או את הערך של הנגזרות בנקודה זו יהיה אפס.

יתר על כן, כמו המשיקים משמאל מקסימה יהיה משופע כלפי מעלה, ואז משוטח ואז משתפל כלפי מטה, המדרון של המשיק יהיה ירידה מתמדת, כלומר הערך של נגזרת השני יהיה שלילי.

מינימה לעומת זאת היא נקודה נמוכה שבה פונקציה נופל ואז עולה שוב. ככזה משיק או את הערך של נגזרת במינימה מדי יהיה אפס.

אבל, כמו המשיקים שמאלה של minima יהיה משופע כלפי מטה, ולאחר מכן שיטוח ולאחר מכן משופע כלפי מעלה, המדרון של המשיק יהיה הולך וגדל בהתמדה או את הערך של נגזרת השני יהיה חיובי.

עם זאת, אלה מקסימום ומינימום עשוי להיות אוניברסלי כלומר מקסימום או מינימום לכל טווח או עשוי להיות מקומי, כלומר מקסימום או מינימום בטווח מוגבל.

הבה נראה זאת בהתייחסות לפונקציה המתוארת בשאלה, ובשביל זה נבדל תחילה #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # וכן הלאה # 0,2pi # זה #0# ב # x = pi / 2 # ו # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # ובזמן # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # כלומר יש לנו מקסימום מקומי, ב # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # כלומר יש לנו מינימום מקומי.

גרף {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}