מהו orthocenter של משולש עם פינות ב (9, 7), (4, 4), ו (8, 6) #?

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

אנו נקרא את הקודקודים # A = (4,4) #, # B = (9,7) # ו # C = (8,6) #.

אנחנו צריכים למצוא שתי משוואות שאינן ניצב לשני הצדדים ולעבור דרך שני הקודקודים. אנחנו יכולים למצוא את המדרון של שני הצדדים, וכתוצאה מכך את המדרון של שני קווים אנכיים.

שיפוע של AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

שיפוע מאונך זה:

#-5/3#

זה צריך לעבור דרך קודקוד C, כך משוואה של הקו הוא:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

שיפוע של BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

שיפוע מאונך זה:

#-1#

זה צריך לעבור דרך קודקוד A, כך משוואה של הקו הוא:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

כאשר 1 ו- 2 מצטלבים הוא ה- othocenter.

פתרון 1 ו 2 בו זמנית:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

באמצעות 2

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

בגלל המשולש הוא אטום othocenter הוא מחוץ למשולש. זה ניתן לראות אם אתה להאריך את שורות הגובה עד שהם חוצים.

תשובה:

אורוצנטר

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

מרכז

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

הסבר:

אורוצנטר

בהתחשב # p_1, p_2, p_3 # ו

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # כך ש

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

וקטורים אלה מתקבלים בקלות, לדוגמה

# p_1 = (x_1, y_1) # ו # p_2 = (x_2, y_2) # ואז

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

עכשיו יש לנו

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

שלושת השורות הללו מצטלבות באורת'וקנטר של המשולש

בחירה # L_1, L_2 # יש לנו

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # או

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

נותן את המשוואות

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

עכשיו לפתור עבור # lambda_1, lambda_2 # יש לנו

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

ואז

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

מרכז

משוואת ההיקף ניתנת על ידי

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

עכשיו אם # {p_1, p_2, p_3} ב- C # יש לנו

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

הפחתת הראשון מן השני

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

הפחתת הראשון מן השלישי

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

נותן את המערכת של משוואות

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) (x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

עכשיו להחליף את הערכים שניתנו לנו להגיע

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

מצורף מגרש המציג את אורטוצנטר (אדום) ואת circumcentercenter (כחול).