אנו מציינים כי השורש הריבועי של 12345678910987654321 אינו מספר שלם, לכן הדפוס שלנו מכיל עד 12345678987654321 בלבד. מאחר שהדפוס הוא סופי, אנו יכולים להוכיח זאת ישירות.
שים לב ש:
בכל מקרה, יש לנו מספר המורכב כולו
להוכיח בעקיפין, אם n ^ 2 הוא מספר מוזר n הוא מספר שלם, אז n הוא מספר מוזר?
הוכחה על ידי סתירה - ראה להלן נאמר לנו כי n ^ 2 הוא מספר מוזר n ב ZZ:. n ^ 2 ב- ZZ נניח ש- n ^ 2 הוא מוזר ו- n הוא אפילו. אז n = 2k עבור כמה k ZZ ו n = 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2) שהוא מספר שלם אפילו:. n ^ 2 הוא אפילו, אשר סותר את ההנחה שלנו. מכאן אנו חייבים להסיק כי אם n 2 הוא מוזר גם חייב להיות מוזר.
להוכיח את זה בעקיפין, אם n ^ 2 הוא מספר מוזר n הוא מספר שלם, אז n הוא מספר מוזר?
N הוא גורם של n ^ 2. כמו מספר אפילו לא יכול להיות גורם של מספר מוזר, n צריך להיות מספר מוזר.
להוכיח שאם u הוא מספר שלם מוזר, אז למשוואה x ^ 2 + x-u = 0 אין פתרון שהוא מספר שלם?
רמז 1: נניח כי משוואה x ^ 2 + x-u = 0 עם u מספר שלם יש פתרון שלם n. הראה כי u הוא אפילו. אם n הוא פיתרון יש מספר שלם כך ש- x ^ 2 + x = = x = m כאשר nm = u ו- mn = 1 אבל המשוואה השנייה כרוכה ב- m = n + 1, ו n הם מספרים שלמים, כך אחד n, n + 1 הוא אפילו nm = u הוא אפילו.