להוכיח שאם u הוא מספר שלם מוזר, אז למשוואה x ^ 2 + x-u = 0 אין פתרון שהוא מספר שלם?

תשובה:

רמז 1: נניח שהוא משוואה # x ^ 2 + x-u = 0 # עם # u # מספר שלם יש פתרון שלם # n #. הראה את זה # u # הוא אפילו.

הסבר:

אם # n # הוא פתרון יש מספר שלם #M# כך ש

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

איפה #nm = u # ו # m-n = 1 #

אבל המשוואה השנייה כרוכה בכך #m = n + 1 #

עכשיו, שניהם #M# ו # n # הם מספרים שלמים, כך אחד # n #, # n # 1 # הוא אפילו #nm = u # הוא אפילו.

הצעה

אם # u # הוא מספר שלם מוזר, ולאחר מכן את המשוואה # x ^ 2 + x - u = 0 # אין פתרון שהוא מספר שלם.

הוכחה

נניח שיש פתרון שלם #M# של המשוואה:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

איפה # u # הוא מספר שלם מוזר. יש לבחון את שני המקרים האפשריים:

#M# הוא מוזר; או

#M# הוא אפילו.

ראשית, הבה נבחן את המקרה שבו #M# הוא מוזר, ואז קיים מספר שלם # k # כך ש:

# m = 2k + 1 #

עכשיו, מאז #M# הוא שורש של המשוואה שלנו, זה חייב להיות:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

ויש לנו סתירה, כמו # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # הוא אפילו, אבל # u # הוא מוזר.

לאחר מכן, הבה נבחן את המקרה שבו #M# הוא אפילו, ואז קיים מספר שלם # k # כך ש:

# m = 2k #

באופן דומה, מאז #M# הוא שורש של המשוואה שלנו, זה חייב להיות:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

ושוב, יש לנו סתירה, כמו # 2 (2k ^ 2 + k) # הוא אפילו, אבל # u # הוא מוזר.

אז הוכחנו כי אין פתרון שלם של המשוואה # x ^ 2 + x - u = 0 # איפה # u # הוא מספר שלם מוזר.

לפיכך הוכחה ההצעה. QED

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

אם # x ^ 2 + x-u = 0 # לאחר מכן

#x (x + 1) = u # אז אם #איקס# הוא מספר שלם, #x (x + 1) # הוא אפילו, להיות סתירה כי # u # לפי ההשערה הוא מוזר.