טאשה רוצה 25 פאונד של תערובת אגוזים שהיא יכולה למכור עבור 5.00 $ לכל פאונד. אם יש לה קשיו שמוכרים עבור $ 6.50 לכל לירה פיסטוק אגוזים שמוכרים עבור $ 4.00 לכל לירה, כמה של כל אחד היא צריכה להשתמש?
קשיו = 10 פאונד פיסטוקו = 15 פאונד סך הכל אגוזים = 25 קילו קשיו = x פאונד פיסטוק = (25 x x) £ 6.5 (xx x) + [4 (25-x)] = (5 xx 25) 6.5 x + 4 x 25 = 2.5 = 10 קשיו = 10 פאונד פיסטוק = (25 - 10) = 15 פאונד
האם רצף a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) מתכנס או סוטה?
(1 + 3 / n) ^ 2 ^ ^ ^ ^ n = (1 + 6 / n + 9 / n ^ 2 + n / 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n = 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "שים לב כי תוכל בקלות רבה יותר להחיל את מגבלת אוילר כאן:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "אז רצף גדל מאוד גדול אבל לא אינסופי גדול, כך שהוא "מתכנס".
נניח, a_n הוא מונוטוני ומתכנס ו- b_n = (a_n) ^ 2. האם b_n בהכרח מתכנס?
כן. תן l = lim_ (n -> + oo) a_n. A_n הוא מונוטוני כך ש- b_n יהיה מונוטוני גם כן, ו- lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) 2 = l ^ 2. זה כמו עם פונקציות: אם F ו- G יש גבול סופי ב, אז המוצר f.g יהיה גבול ב.