האם רצף a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) מתכנס או סוטה?

תשובה:

# "ראה הסבר" #

הסבר:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ #

# = ((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ #

# = (1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ #

# # (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ #

# "שים לב כי תוכל בקלות רבה יותר להחיל את מגבלת אוילר כאן:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "אז רצף גדל מאוד גדול אבל לא גדול לאין שיעור, אז זה" # #

# "converges." #