נניח, a_n הוא מונוטוני ומתכנס ו- b_n = (a_n) ^ 2. האם b_n בהכרח מתכנס?

נניח, a_n הוא מונוטוני ומתכנס ו- b_n = (a_n) ^ 2. האם b_n בהכרח מתכנס?
Anonim

תשובה:

כן.

הסבר:

תן #l = lim_ (n -> + oo) a_n #.

# a_n # הוא מונוטוני כך # b_n # יהיה מונוטוני גם כן, ו (n -> + oo) (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2 #.

זה כמו עם פונקציות: אם # f # ו # גרם # יש גבול סופי ב # a #, ולאחר מכן את המוצר # f.g # יהיה גבול ב # a #.