מה ההקרנה של <0, 1, 3> אל <0, 4, 4>?

תשובה:

ההקרנה הווקטורית היא #< 0,2,2 >#, היטל הסקלרי הוא # 2sqrt2 #. ראה למטה.

הסבר:

בהתחשב # veca = <0,1,3> # ו # vecb = <0,4,4> #, אנחנו יכולים למצוא #proj_ (vecb) veca #, ה וקטור הקרנה של # veca # אל # vecb # תוך שימוש בנוסחה הבאה:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

כלומר, את המוצר נקודה של שני וקטורים מחולק לפי גודל # vecb #, כפול # vecb # מחולק לפי גודל. הכמות השנייה היא כמות וקטורית, כפי שאנו מחלקים וקטור על ידי סקלר. שים לב שאנחנו מחלקים # vecb # על פי גודלה כדי להשיג וקטור יחידה (וקטור עם גודל של #1#). ייתכן שתבחין כי הכמות הראשונה היא סקלרית, כפי שאנו יודעים כי כאשר אנו לוקחים את המוצר נקודה של שני וקטורים, התוצאה היא סקלרית.

לכן, סקלר הקרנה של # a # אל # b # J #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, נכתב גם # proj_ (vecb) veca | #.

אנחנו יכולים להתחיל על ידי לקיחת מוצר נקודה של שני וקטורים:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

אז נוכל למצוא את גודל # vecb # על ידי לקיחת שורש הריבוע של סכום הריבועים של כל אחד מהרכיבים.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) # #

# | vecb | = sqrt (0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) # #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

ועכשיו יש לנו כל מה שאנחנו צריכים כדי למצוא את היטל וקטור של # veca # אל # vecb #.

# (#) (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32)

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

היטל סקלרי של # veca # אל # vecb # הוא רק המחצית הראשונה של הנוסחה, שם #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. לכן, היטל הסקלר הוא # 16 / sqrt (32) #, אשר מפשט עוד יותר # 2sqrt2 #. הראיתי את הפישוט למטה.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

מקווה שזה עוזר!