מה הם extrma המקומית, אם בכלל, של f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

תשובה:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) בערך 0.541 #

הסבר:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

החלת כלל המוצר

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

עבור מקסימום מקומי או מינימום: #f '(x) = 0 #

תן # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

# z (z + 2) = 0 -> z = 0 או z = -2 #

לפיכך עבור המקסימום או המינימום המקומי:

#lnx = 0 או lnx = -2 #

#:. x x = 1 או x = e ^ -2 כ- 0.135 #

עכשיו לבחון את הגרף של #x (lnx) ^ 2 # להלן.

גרף {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

אנחנו יכולים לראות את זה פשוט #f (x) # יש מינימום מקומי ב # x = 1 # ו מקסימלית המקומית ב #x ב- (0, 0.25) #

לפיכך: #f_min = f (1) = 0 # ו #f_max = f (e ^ (- 2)) בערך 0.541 #