מהו אינטגרל int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

תשובה:

# 1/2 -ln (ABS) (1 + e + (2x)) 1 +) + ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

הסבר:

ראשית, אנו מחליפים:

# u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (dx) (dx) = 2e ^ (2x) dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

(u-1) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du # (2)

בצע החלפה שנייה:

# v ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

פיצול באמצעות שברים חלקי:

# 1 / (v + 1) (v-1) = A / (+ 1) + B / v (1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# v = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1 / 2 #

עכשיו יש לנו:

# # / (2 (v + 1)) 1 / (2 (v-1) # #

# 1 (1 +) (+ 1) (+ 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 (2) (v-1)) dv = 1/2 -ln (ABS) (+ 1)) + ln (ABS (v-1)) + V + C #

החלפת חזרה # v = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (ABS) () (+)) + + ln (ABS) (sq) (u) -1)) + sqrt (u) + C #

החלפת חזרה # u = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (ABS) (1 + e + (2x)) 1 +) + ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #