איך אתה מוצא את המגבלה של (ln x) ^ (1 / x) כמו x מתקרב אינסוף?

תשובה:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

הסבר:

אנחנו מתחילים עם טריק נפוץ למדי כאשר מתמודדים עם משתנים שונים. אנחנו יכולים לקחת את היומן הטבעי של משהו ואז להעלות אותו כמעריך של הפונקציה המעריכית מבלי לשנות את ערכו כאלו הן פעולות הפוכות - אבל זה מאפשר לנו להשתמש בכללי היומנים בצורה מועילה.

# (xrar) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x)) #

שימוש בכללי המעריך של יומנים:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

שימו לב כי הוא מעריך כי משתנה # xrarroo # כך שנוכל להתמקד בה ולהעביר את הפונקציה המעריכית החוצה:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

אם תסתכלו על התנהגות הפונקציה הטבעית, תראו כי x נוטה לאינסוף, ערך הפונקציה נוטה גם לאינסוף, אם כי לאט מאוד. כאשר אנו לוקחים #ln (ln (x)) # יש לנו משתנה בתוך הפונקציה יומן שנוטה אינסוף לאט מאוד, כלומר יש לנו פונקציה הכוללת נוטה אינסוף בהחלט לאט. הגרף שלהלן רק נע בטווח של עד # x = 1000 # אבל זה מוכיח את הצמיחה האיטית ביותר של #ln (ln (x)) # גם בהשוואה לצמיחה האיטית של #ln (x) #.

מהתנהגות זו אנו יכולים להסיק מכך #איקס# תציג צמיחה אסימפטוטית הרבה יותר מהר, ולכן הגבול של המעריך יהיה אפס. #color (כחול) ("משמעות הדבר היא שהגבול הכולל = 1.") #

אנחנו יכולים גם להתמודד עם הנקודה הזאת עם שלטון L'hopital. אנחנו צריכים את הגבול להיות בצורה בלתי מוגדר, כלומר # 0/0 או oo / oo # אז אנחנו בודקים כי זה המקרה:

(ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

זה אכן המקרה כך מגבלת הופך:

# d (dx) (dx) (ln (x)))) / (d / dx) x)

כדי להבדיל #y = ln (ln (x)) # להכיר שיש לנו #y (u (x)) # ולהשתמש כלל השרשרת

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) מרמז (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) מרמז (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# (xxn) x (x) x (x) x (x) x (x)

נגזרת של #איקס# J #1#. ההגבלה הופכת ל:

# (exp = (limrar (xrarroo) (1 / (xln (x)) / 1)) exp = (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

התייחסנו כי שתי פונקציות על המכנה נוטים אינסוף כך יש לנו

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #

איך אתה מוצא את המגבלה של [חטא x) * (חטא ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] כמו x מתקרב 0?

בצע כמה כפל מצומצם ופשוט כדי לקבל lim_ (x-> 0) (sinx * חטא ^ 2x) / (1-cosx) = 0 החלפה ישירה מייצרת טופס בלתי מוגדר 0/0, אז נצטרך לנסות משהו אחר. נסו להכפיל את החטא (sinx * sin 2x) / (1-cosx) על ידי (1 + cosx) / (1 + cosx): (sinx * sin 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 (1 + cosx) = (sinx * חטא ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cosx)) 1 (cxx) טכניקה זו ידועה ככפל מצומד, והיא פועלת כמעט בכל פעם. הרעיון הוא להשתמש בהפרש ריבועים (a) b (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 כדי לפשט את המונה או המכנה (במקרה זה המכנה). נזכיר את החטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1, או חטא ^ 2x = 1-cos ^ 2x. לכן אנו יכולים להחליף את המכנה, שהוא 1 cos ^ 2x, עם חטא ^ 2x: (sinx) (חטא ^ 2x

איך אתה מוצא את הגבול של xtan (1 / (x-1)) כמו x מתקרב אינסוף?

הגבול הוא 1. אני מקווה שמישהו כאן יכול למלא את החסר בתשובה שלי. הדרך היחידה שאני יכול לראות כדי לפתור את זה היא להרחיב את המשיק באמצעות סדרה לורן ב x = oo. למרבה הצער אני לא עשיתי ניתוח מורכב עדיין עדיין כך אני לא יכול להלביש אותך איך בדיוק זה נעשה אבל באמצעות Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+tan (1% 2F ( x-1)) השגתי את השיזוף (1 / x-1)) מורחב ב- x = oo שווה ל: 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 (x ^ 4) (+ 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x + +) (+) 3) + ... אז, כי כל התנאים מלבד הראשון יש x על המכנה קבוע על המונה lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x ^ 3) + ...) = 1 כי כל התנאים א

איך אתה מוצא את המגבלה של f (x) = (x ^ 2 - 1) / (x + 1) ^ 2 כמו x מתקרב -1?

כיוון שכאשר מחליפים -1 בפונקציה הנתונה יש ערך בלתי מוגדר 0/0 יש לנו לחשוב על כמה אלגוריות אלגבריות (x -> - 1) (f) x (x) (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) (x-1) (x - 2-1) (x + 1 -) (x + 1)) (x + 1) ^ 2 אנו מפשטים x + 1 lim_ (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) (x - 1) / (x + (X -> - 1) (x -> - 1) (x -> - 1) f (x) (x -> - 1) -2/0 lim_ (x -> - 1) f (x) = - oo