איך אתה מוצא את המגבלה של [חטא x) * (חטא ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] כמו x מתקרב 0?

תשובה:

בצע כמה כפל מצומצם ופשוט להגיע #lim_ (x-> 0) (sinx * sin = 2x) / (1-cosx) = 0 #

הסבר:

תחליף ישיר מייצר טופס לא מוגדר #0/0#, אז נצטרך לנסות משהו אחר.

נסה להכפיל # (sinx * sin 2x) / (1-cosx) # # על ידי # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) # #

# (sinx * sin 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin = 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

טכניקה זו ידועה כפל מצמד, וזה עובד כמעט בכל פעם. הרעיון הוא להשתמש ההבדל של ריבועים רכוש # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # כדי לפשט גם את המונה או המכנה (במקרה זה המכנה).

נזכיר את זה # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, או # sin = 2x = 1-cos ^ 2x #. לכן אנו יכולים להחליף את המכנה, שהוא # 1-cos ^ 2x #, עם # sin = 2x #:

# (sinx) (חטא ^ 2x) (1 + cosx)) / (חטא ^ 2x) # #

עכשיו ה # sin = 2x # canc you

# (sinx) (ביטול חטא ^ 2x)) (1 + cosx)) / (ביטול (חטא ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

סיים על ידי לקיחת הגבול של ביטוי זה:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#