מהו התחום והטווח של הפונקציה: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

תשובה:

התחום הוא # (- oo, oo) # ואת טווח #0, 1/2#

הסבר:

בהתחשב you

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) # #

שים לב כי עבור כל ערך אמיתי של #איקס#, המכנה # 1 + x ^ 4 # הוא לא אפס.

לפיכך #f (x) # הוא מוגדר היטב עבור כל ערך אמיתי של #איקס# ואת התחום שלה # (- oo, oo) #.

כדי לקבוע את הטווח, תן:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

הכפל את שני הקצוות על ידי # 1 + x ^ 4 # להשיג:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

הפחתה # x ^ 2 # משני הצדדים, אנו יכולים לשכתב את זה כמו:

#y (x ^ 2) ^ 2 (x ^ 2) + y = 0 #

זה יהיה רק פתרונות אמיתיים אם מפלה שלה הוא לא שלילי. לשים # a = y #, # b = -1 # ו # c = y #, המפלה # דלתא # ניתן ע"י:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

לכן אנו דורשים:

# 1-yy ^ 2> = 0 #

לפיכך:

# y ^ 2 <1/4 #

לכן # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

בנוסף לציין זאת #f (x)> = 0 # עבור כל הערכים הריאליים של #איקס#.

לפיכך # 0 <= y <= 1/2 #

אז טווח של #f (x) # J #0, 1/2#