Lim_ (x-> 0) חטא (1 / x) / (חטא (1 / x))?

תשובה:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (חטא (1 / x)) = 1 #

הסבר:

אנחנו מחפשים:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (חטא (1 / x)) #

כאשר אנו מעריכים גבול אנו מסתכלים על התנהגות של הפונקציה "קרוב" את הנקודה, לא בהכרח את ההתנהגות של הפונקציה "ב" את הנקודה המדוברת, ובכך #x rarr 0 #, בשום נקודת זמן אנחנו צריכים לשקול מה קורה ב # x = 0 #, כך אנו מקבלים את התוצאה טריוויאלי:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (חטא (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

לבהירות גרף של הפונקציה כדי לדמיין את ההתנהגות סביב # x = 0 #

גרף {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

זה צריך להיות ברור כי הפונקציה # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # אינו מוגדר ב # x = 0 #

תשובה:

אנא ראה להלן.

הסבר:

הגדרות המגבלה של פונקציה שאני משתמש בה שוות ל:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # אם ורק של כל חיובי #אפסילון#, יש חיובית # דלתא # כך עבור כל #איקס#, אם # 0 <abs (x-a) <delta # לאחר מכן #abs (f (x) - L) <epsilon #

בגלל המשמעות של "#abs (f (x) - L) <epsilon #", זה דורש את זה עבור כל #איקס# עם # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # מוגדר.

כלומר, עבור הנדרש # דלתא #, כל # (a-delta, + דלתא) # למעט אולי # a #, טמון בתחום של # f #.

כל זה מקבל אותנו:

#lim_ (xrarra) f (x) # קיים רק אם # f # מוגדר בחלק מרווח פתוח המכיל # a #, למעט אולי ב # a #.

(# f # חייב להיות מוגדר בשכונה פתוחים שנמחקו של # a #)

לכן, #lim_ (xrarr0) חטא (1 / x) / חטא (1 / x) # לא קיים.

דוגמה כמעט טריוויאלית

#f (x) = 1 # ל #איקס# מציאות לא רציונלית (לא מוגדרת עבור רציונליות)

#lim_ (xrarr0) f (x) # לא קיים.