מהו התחום והטווח של y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

תשובה:

דומיין: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

טווח: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

הסבר:

התחום הוא כל הערכים של # y # איפה # y # היא פונקציה מוגדרת.

אם המכנה שווה ל #0#, הפונקציה אינה מוגדרת בדרך כלל. אז כאן, כאשר:

# x + 3 = 0 #, הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן, ב # x = -3 #, הפונקציה אינה מוגדרת.

אז, התחום הוא כאמור # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

הטווח הוא כל הערכים האפשריים של # y #. הוא נמצא גם כאשר המפלה של הפונקציה היא פחות מ #0#.

כדי למצוא את המפלה (# דלתא #), עלינו להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

זוהי משוואה ריבועית שבה # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

מאז # דלתא = b ^ 2-4ac #, אנחנו יכולים קלט:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# דלתא = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# דלתא = y ^ 2 + 14y + 5 #

עוד ביטוי ריבועי, אבל כאן, מאז #Delta> = 0 #, הוא אי שוויון של הטופס:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

אנחנו פונים # y #. שני הערכים של # y # אנו מקבלים יהיה הגבול העליון והתחתון של טווח.

מאז אנחנו יכולים גורם # ay ^ 2 + על-ידי + c # כפי ש # (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (2a), אנחנו יכולים לומר, כאן:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. קלט:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) # #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

אז הגורמים הם # (y - (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0 #

לכן #y> = 2sqrt (11) -7 # ו #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

באיור המרווח ניתן לכתוב את הטווח כ:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #