החלק הפונקציונלי (FCF) של המעמד האקספוננציאלי מוגדר על ידי a_ (cf) (x, b) = (x + b / (a (x + b / a ^ (x + ...)))) ,> 0. עם הגדרת a = e = 2.718281828 .., איך אתה להוכיח כי e_ (cf) (0.1, 1) = 1.880789470, כמעט?

תשובה:

ראה הסבר …

הסבר:

תן #t = a_ (cf) (x, b) #

לאחר מכן:

(x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b) a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ + b / a (cf) (x) b)) = a ^ (x + b / t) #

במילים אחרות, # t # היא נקודה קבועה של המיפוי:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

שים לב כי כשלעצמו, # t # להיות נקודה קבועה של #F (t) # אינו מספיק כדי להוכיח זאת #t = a_ (cf) (x, b) #. ייתכנו נקודות קבועות יציבות ויציבות.

לדוגמה, #2016^(1/2016)# היא נקודה קבועה של #x -> x ^ x #, אבל הוא לא פתרון של # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (אין פתרון).

עם זאת, הבה נבחן #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # ו #t = 1.880789470 #

לאחר מכן:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~ ~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~ ~ 1.880789471 ~~ t #

אז זה הערך של # t # הוא קרוב מאוד לנקודה קבועה של #F_ (a, b, x) #

כדי להוכיח כי הוא יציב, שקול את נגזרת ליד # t #.

(+ 1 / s) # (+ 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0 + 1 / s) # d (ds)

כך אנו מוצאים:

(0 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

מאחר שזו שלילית וערך מוחלט פחות #1#, הנקודה הקבועה ב # t # הוא יציב.

כמו כן, שים לב כי עבור כל ערך לא אפס האמיתי של # s # יש לנו:

(0, 1 / s) # 0 # 0,

זה #F_ (e, 1,0.1) s # הוא בהחלט מונוטוני ירידה.

לפיכך # t # היא נקודת קבוע יציבה ייחודית.

תשובה:

התנהגות חוזית.

הסבר:

עם #a = e # ו #x = x_0 # האיטרציה כדלקמן

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # וגם

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

נחקור את התנאים לצמצום במפעיל האיטרציה.

תמצית שני הצדדים

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

אבל בקירוב הראשון

# e_ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O (y_ {k-1}) ^ 2) #

או

# e / b_ y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

כדי לקבל התכווצות אנחנו צריכים

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

זה מושג אם

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. נניח #b> 0 # ו #k = 1 # יש לנו.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

כך נתון # x_0 # ו # b # מערכת יחסים זו מאפשרת לנו למצוא את איטרציה הראשונית תחת התנהגות חוזית.