באמצעות הגדרת ההתכנסות, איך אתה להוכיח כי רצף {5 + (1 / n)} מתכנס מ n = 1 עד אינסוף?

תן:

#a_n = 5 + 1 / n #

ולאחר מכן עבור כל # m, n ב- NN # עם #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = ABS (5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = ABS (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = ABS (1 / m -1 / n) #

כפי ש #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

וכמו # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

בהתחשב במספר ממשי כלשהו #epson> 0 #, לבחור מכן מספר שלם #N> 1 / epsilon #.

עבור כל מספר שלם # m, n> N # יש לנו:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

מה שמוכיח את מצבו של קושי בהתכנסות של רצף.