עבור אילו ערכים של x הוא f (x) = x-x ^ 2e ^ -x קעור או קמור?

תשובה:

מצא את הנגזרת השנייה לבדוק את השלט שלה. זה קמור אם זה חיובי וקעור אם זה שלילי.

קעורה עבור:

#x ב (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

קמור עבור:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) # #

הסבר:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

נגזר ראשון:

#f '(x) = 1 (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

לקחת # e ^ -x # כגורם נפוץ כדי לפשט נגזר הבא:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

נגזרת שנייה:

# x '2) x + 2 xx) + e ^ -x * (2x-2) # #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) # #

עכשיו עלינו ללמוד את השלט. אנחנו יכולים להחליף את השלט כדי לפתור בקלות את ריבועי:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) # #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

כדי להפוך את המוצר לריבועי:

(2) + (2 + 1) = (+) 2 (1) + (2) 1 (= 2)

לכן:

(x) (2-sqrt (2)) * (x- (2 + sqrt (2))) # #

• ערך של #איקס# בין שני הפתרונות הללו נותן סימן שלילי ריבועי, בעוד כל ערך אחר #איקס# עושה את זה חיובי.
• כל ערך של #איקס# עושה # e ^ -x # חיובי.
• הסימן השלילי בתחילת הפונקציה הופך את כל הסימנים.

לכן, #f '' (x) # J

חיובי, ולכן קעורה עבור:

#x ב (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

שלילי, ולכן קמור עבור:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) # #