אינטגרל של 1 / sqrt (tanx) dx =?

תשובה:

(Tanx-sqt (2tanx) 1 (/ ttx-1) / (tanx-sqt (2 tanx-1) / (tanx-1) / +1) | + C #

הסבר:

אנחנו מתחילים עם u- החלפה עם # u = sqrt (tanx) #

נגזרת של # u # J

# (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

כך אנו מתחלקים על ידי זה כדי להשתלב ביחס # u # (וזכור, חלוקה לפי חלק זהה לזו של הכפלה על ידי גומלין):

# txx) (2sqrt (tanx)) / dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x du = #

# = int 2 / sec ^ 2x du #

מאז אנחנו לא יכולים להשתלב #איקס#לגבי # u #, אנו משתמשים בזהות הבאה:

# sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 #

זה נותן:

(# + u + 4) du = 2int 1 / (1 + u + 4) du #

אינטגרל הנותר הזה משתמש בפירוק חלקי של חלקיקים מייגעים, ולכן לא אעשה זאת כאן. תסתכל על התשובה הזו אם אתה מעוניין איך זה הסתדר:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# (1 / (sqrt2) tan ^ -1) (u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

עבור מחדש # u = sqrt (tanx) #, אנחנו מקבלים:

(Tanx-sqt (2tanx) 1 (/ ttx-1) / (tanx-sqt (2 tanx-1) / (tanx-1) / +1) | + C #

תשובה:

# (1/1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (ttx-1) / (sqt (2tanx)) (/ tanx) + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

הסבר:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

תן, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt #

(1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#): I = int1 / cancelt * (2 * cancelt * dt) / (1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = int (t + 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / t = 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# (1 + 1 / t ^ 2) / (t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

לקחת,# (t-1 / t) = uand (t + 1 / t) = ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv #(2) t = - (= 2 =) = 2 =) 1 (2 =) 1 (= 1 (u + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t-1 (t + 1 / t) - sqrt2) / (t + 1 / t) + sqrt2) | + c ## (1) 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (2) t (1) 2) t) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t) | + c #

# (1/1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (ttx-1) / (sqt (2tanx)) (/ tanx) + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #