כיצד להרחיב בסדרת Maclaurin זה? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

תשובה:

(x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 +) + x ^ (n + 1) / n +1) ^ 2 #

חזותי: בדוק את התרשים

הסבר:

אנו בבירור לא יכולים להעריך את האינטגרל הזה כפי שהוא משתמש בכל אחת משילוב הטכניקות הרגילות שלמדנו. עם זאת, שכן הוא אינטגרל מובהק, אנו יכולים להשתמש בסדרת MacLaurin ולעשות מה שנקרא המונח על ידי שילוב לטווח.

אנחנו צריכים למצוא את סדרת MacLaurin. מכיוון שאנחנו לא רוצים למצוא את נגזרת ה- n של פונקציה זו, נצטרך לנסות ולהתאים אותה לאחד מסדרת MacLaurin שאנחנו כבר יודעים.

ראשית, אנחנו לא אוהבים # log #; אנחנו רוצים לעשות את זה # ln #. כדי לעשות זאת, אנחנו יכולים פשוט להעסיק את השינוי של נוסחה בסיס:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

אז יש לנו:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

למה אנחנו עושים את זה? ובכן, עכשיו שים לב # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # למה זה כל כך מיוחד? ובכן, # 1 / (1-x) # הוא אחד מסדרת MacLaurin הנפוצה שלנו:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…לכולם #איקס# on #(-1, 1#

אז, אנחנו יכולים להשתמש במערכת יחסים זו לטובתנו, ולהחליף #ln (1-t) # עם # int-1 / (1-t) dt #, המאפשר לנו להחליף את זה # ln # טווח עם סדרת MacLaurin. לשים את זה ביחד נותן:

# tln (10) tln (10)) = -1 / tln (10) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

הערכת האינטגרל:

# T + 4/4 +) + t ^ (n + 1) / n + 1) #

מבטל את # t # טווח במכנה:

(+ 1 +) t + 2 + 3 + t + 3/4 + + t ^ (n) / n + 1) # #

ועכשיו, אנחנו לוקחים את אינטגרל מובהק התחלנו את הבעיה עם:

# + t + 2 + 3 + t + 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) dt #

הערה: שים לב איך אנחנו עכשיו לא צריך לדאוג מחלוקת על ידי אפס בעיה זו, שהיא בעיה היו לנו את integrand המקורי בשל # t # טווח במכנה. מאז זה בוטל בשלב הקודם, זה מראה כי הרציפות נשלפת, אשר עובד טוב עבורנו.

# T + 4/16 + + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ t + 3 / 2 הוערך מ #0# ל #איקס#

(+ 1 +) + (+) + (+) + (+ 1 +) + 2 - 0 #

(+ 1 +) + (+) + (+) + (+ 1 +) + 2

ודא שאתה מבין, עם זאת, כי סדרה זו טובה רק על מרווח #(1, 1#, מאז סדרת MacLaurin השתמשנו לעיל הוא מתכנס רק על מרווח זה. בדוק את הגרף הזה עשיתי כדי לקבל מושג טוב יותר איך זה נראה.

מקווה שזה עזר:)