מהו המרווח של ההתכנסות של סכום {n = 0} ^ oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? ומהו הסכום ב- x = 3?

תשובה:

# - oo, -4 "U" 5, oo "הוא המרווח של ההתכנסות עבור x" #

# "x = 3 הוא לא מרווח של התכנסות כל כך סכום עבור x = 3 הוא"

הסבר:

# "התייחס לסכום כמו זה יהיה סדרה גיאומטרית על ידי החלפת" #

# "z = log_2 (x + 1) / (x-2)) #

#"אז יש לנו"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "עבור" | z | <1 #

# "אז המרווח של ההתכנסות הוא" #

# -1 <log_2 (x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x 1 1 <2 (x-2) "או" # #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 שלילי)" #

# "מקרה חיובי:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 ו- x> 5 #

# => x> 5 #

# "מקרה שלילי:" #

# 4> x> 3x-10 #

# => x <-4 ו- x <5 #

# => x <-4 #

# "החלק השני:" x = 3 => z = 2> 1 => "sum is" oo #