מהו המרווח של ההתכנסות של sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)} ^ n?

תשובה:

#x in (-oo, 1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

הסבר:

אנחנו יכולים לעשות זאת #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # היא סדרה גיאומטרית עם יחס # r = 1 / (x (1-x)) #.

עכשיו אנו יודעים כי סדרה גיאומטרית להתכנס כאשר הערך המוחלט של היחס הוא קטן מ 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

לכן עלינו לפתור אי-שוויון זה:

# 1 / (x (1-x)) <1 ו- 1 / (x (1-x))> -1 #

נתחיל עם הראשון:

(X-1) x (1-x)) (x-1) x (1-x)) - x (1-x))

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

אנחנו יכולים בקלות להוכיח כי המונה הוא תמיד חיובי והמכנה הוא negetive במרווח #x in (-oo, 0) U (1, oo) # #.

אז זה הפתרון לאי-השוויון הראשון שלנו.

בואו נראה את השני:

(X-1) x (1-x)) (x-x) (x-1) x (x-1) #

אי שוויון זה יש פתרון מרווח:

#x in (-oo, 1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

אז הסדרה שלנו להתכנס שם זה מרווחי הן נכונות.

לכן המרווח שלנו של ההתכנסות הוא:

#x in (-oo, 1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #