מהו טווח הפונקציה f (x) = 1 / (4 חטא (x) + 2)?

תשובה:

הטווח הוא #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

הסבר:

שים לב שהמכנה אינו מוגדר בכל פעם

# 4 חטא (x) + 2 = 0 #, כלומר, בכל פעם

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

או

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, איפה #n in ZZ # (# n # הוא מספר שלם).

כפי ש #איקס# גישות #x_ (1, n) # מלמטה, #f (x) # גישות # - infty #, ואילו #איקס# גישות #x_ (1, n) # מלמעלה #f (x) # גישות # # infty #. זאת בשל חלוקה על ידי "כמעט #-0# או #+0#'.

ל #x_ (2, n) # # המצב הפוך. כפי ש #איקס# גישות #x_ (2, n) # # מלמטה, #f (x) # גישות # # infty #, ואילו #איקס# גישות #x_ (2, n) # # מלמעלה #f (x) # גישות # -infty #.

אנחנו מקבלים רצף של אינטרוולים #f (x) # היא רציפה, כפי שניתן לראות במזימה. שקול תחילה את "קערות" (שבסופו של דבר הפונקציה מתפוצץ עד # # infty #). אם נוכל למצוא את המינימום המקומי במרווחים האלה, אז אנחנו יודעים את זה #f (x) # מניח את כל הערכים בין ערך זה # # infty #. אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עבור "קערות הפוכות", או "כובעים".

נציין כי הערך החיובי הקטן ביותר מתקבל בכל פעם שהמכנה #f (x) # הוא גדול ככל האפשר, כי אז #sin (x) = 1 #. אז אנחנו מסיקים כי הערך החיובי הקטן ביותר של #f (x) # J #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

הערך השלילי הגדול ביותר נמצא באופן דומה #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

בשל המשכיות #f (x) # ב intervals בין discontinuities, ואת ערך הביניים משפט, אנו יכולים להסיק כי טווח של #f (x) # J

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

הסוגריים הקשים מציינים שהמספר כלול במרווח (למשל. #-1/2#), בעוד סוגריים רכים אומר שהמספר אינו כלול.

גרף {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}