למשולש יש פינות A, B ו- C הממוקמות ב (3, 5), (2, 9) ו- (4, 8), בהתאמה. מהם נקודות הקצה והאורך של הגובה העובר בפינה C?

תשובה:

נקודות קצה #(4,8)# ו #(40/17, 129/17) # ואת אורך # 7 / sqrt {17} #.

הסבר:

אני כנראה מומחה לענות על שאלות בנות שנתיים. בוא נמשיך.

הגובה דרך C הוא ניצב ל- AB דרך C.

ישנן מספר דרכים לעשות זאת. אנחנו יכולים לחשב את המדרון של AB כמו #-4,# ואז המדרון של הניצב הוא #1/4# ואנחנו יכולים למצוא את המפגש של הניצב דרך C ואת הקו דרך A ו- B. בוא ננסה דרך אחרת.

בואו נקרא את הרגל של הניצב #F (x, y) #. אנו יודעים שתוצר הנקודה של וקטור כיוון CF עם כיוון וקטור AB הוא אפס אם הם בניצב:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

זו משוואה אחת. המשוואה השנייה אומרת #F (x, y) # הוא על הקו דרך A ו- B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

הם נפגשים מתי

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

אורך CF של הגובה הוא

# / = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

בואו לבדוק את זה על ידי חישוב השטח באמצעות נוסחה שרוך ולאחר מכן לפתור את הגובה. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} מרובע מרובעת מרובע sqrt #