משולש יש פינות ב (4, 1), (2, 4), ו (0, 2) #. מהם נקודות הקצה של bisectors בניצב של המשולש?

תשובה:

נקודות הקצה הקלות הן נקודות האמצע, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# וקשה יותר שבהם נפגשים הביסקטורים לצדדים האחרים, כולל #(8/3,4/3).#

הסבר:

על ידי bisectors בניצב של משולש אנו מתכוונים מתכוון bisector ניצב של כל צד של המשולש. אז יש שלושה bisectors בניצב עבור כל משולש.

כל bisector מאונך מוגדר לחצות צד אחד בנקודת האמצע שלו. הוא גם יחתך את אחד הצדדים האחרים. נניח ששניים אלה הם נקודות הקצה.

Midpoints הם

# (= + 2) / 2 (= 1) # (= 2 + 0) / 2,

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

זה כנראה מקום טוב ללמוד על ייצוגים פרמטריים עבור שורות וקטעים. # t # הוא פרמטר שיכול לנוע לאורך הריאלים (עבור שורה) או מ #0# ל #1# עבור קטע שורה.

הבה נתאר את הנקודות #A (4,1) #, #B (2,4) # ו #C (0,2) #. שלושת הצדדים הם:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

# =) (X, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# #): (X, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) # #

# (T) (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

כפי ש # t # הולך מאפס לאחד אנו עוקבים אחר כל צד.

בואו נעבוד. # D # היא נקודת האמצע של # BC #, # (= + 2) / 2 (= 1) # (= 2 + 0) / 2,

וקטור כיוון מ- C ל- B הוא # B-C = (2,2) #. עבור בניצב, אנחנו להעיף את שני מקדמים (אין שום השפעה כאן כי שניהם #2#) ולשלול אחד. אז המשוואה הפרמטרית של הניצב

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(קו שונה, פרמטר שונה). אנחנו יכולים לראות איפה זה פוגש כל אחד הצדדים.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) # #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # מאמת כי bisector בניצב פוגש BC ב midpoint שלה.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

הפחתת, # t = 2-3 = - 1 #

זה מחוץ לטווח כך bisector בניצב של BC לא מכה את הצד AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

הפחתת, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

זה נותן את נקודת הקצה השני כמו

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

זה מתחיל להיות ארוך, אז אני אעזוב את שתי נקודות הקצה האחרות אליך.