שתי פינות של משולש isosceles הם ב (1, 3) ו (9, 4). אם שטח המשולש הוא 64, מה הם אורכי הצדדים של המשולש?

שתי פינות של משולש isosceles הם ב (1, 3) ו (9, 4). אם שטח המשולש הוא 64, מה הם אורכי הצדדים של המשולש?
Anonim

תשובה:

אורכי המשולש הם:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

הסבר:

המרחק בין שתי נקודות # (x_1, y_1) # ו # (x_2, y_2) # ניתן על ידי נוסחת המרחק:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

אז המרחק בין # (x_1, y_1) = (1, 3) # ו # (x_2, y_2) = (9, 4) # J

# #qqrt (9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2 = = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

שהוא מספר לא הגיוני קצת יותר גדול #8#.

אם אחד הצדדים האחרים של המשולש היה באותו אורך, ואז השטח המרבי האפשרי של המשולש יהיה:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

אז זה לא יכול להיות כך. במקום זאת, שני הצדדים האחרים חייבים להיות באותו אורך.

בהתחשב משולש עם הצדדים # a = sqrt (65), b = t, c = t #, אנו יכולים להשתמש בנוסחה של הרון כדי למצוא את השטח שלה.

נוסחת הארון מספרת לנו כי השטח של משולש עם הצדדים #א ב ג# ואת המערכת למחצה #s = 1/2 (a + b + c) # ניתן ע"י:

#A = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

במקרה שלנו המערכת למחצה היא:

# # = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

ו נוסחה של הרון אומר לנו כי:

# 64 = 1 / 2sqrt (t + sqrt) (65) / 2) (t-sqrt) (65) / 2) (sqrt) (65) / 2) (sqrt) (65) / 2)) #

#color (לבן) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

הכפל את שני הקצוות על ידי #2# להשיג:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

מרובע שני הצדדים להגיע:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

הכפל את שני הצדדים על ידי #4/65# להשיג:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

לשנות ולהוסיף #65/4# לשני הצדדים להגיע:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

קח את השורש הריבועי החיובי של שני הצדדים כדי לקבל:

#t = sqrt (266369/260) #

אז אורכי הצדדים של המשולש הם:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

שיטה אלטרנטיבית

במקום להשתמש בנוסחה של הרון, אנו יכולים להסביר את הדברים הבאים:

בהתחשב בכך הבסיס של המשולש isosceles הוא באורך:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

האזור הוא # 64 = 1/2 "base" xx "height" # #

אז גובה המשולש הוא:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

זהו אורך של bisector בניצב של המשולש, אשר עובר דרך אמצע הבסיס.

אז שני הצדדים האחרים יוצרים את hypotenuses של שני משולשים זווית ישרה עם הרגליים #sqrt (65) / 2 # ו # (128sqrt (65)) / 65 #

אז לפי פיתגורס, כל אחד מהצדדים האלה הוא באורך:

# sqt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) # # (2)